\documentclass{article} \usepackage{axiom} \begin{document} \title{\$SPAD/input schaum16.input} \author{Timothy Daly} \maketitle \eject \tableofcontents \eject \section{\cite{1}:14.325~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{x(x^n+a^n)}}$} $$\int{\frac{1}{x(x^n+a^n)}}= \frac{1}{na^n}\ln\frac{x^n}{x^n+a^n} $$ <<*>>= )spool schaum16.output )set message test on )set message auto off )clear all --S 1 aa:=integrate(1/(x*(x^n+a^n)),x) --R --R n log(x) n --R - log(%e + a ) + n log(x) --R (1) --------------------------------- --R n --R n a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 2 bb:=1/(n*a^n)*log(x^n/(x^n+a^n)) --R --R n --R x --R log(-------) --R n n --R x + a --R (2) ------------ --R n --R n a --R Type: Expression Integer --E --S 3 cc:=aa-bb --R --R n --R n log(x) n x --R - log(%e + a ) - log(-------) + n log(x) --R n n --R x + a --R (3) ------------------------------------------------ --R n --R n a --R Type: Expression Integer --E --S 4 dd:=expandLog cc --R --R n log(x) n n n n --R - log(%e + a ) + log(x + a ) - log(x ) + n log(x) --R (4) ---------------------------------------------------------- --R n --R n a --R Type: Expression Integer --E --S 5 14:325 Schaums and Axiom agree ee:=complexNormalize dd --R --R (5) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.326~~~~~$\displaystyle \int{\frac{x^{n-1}~dx}{x^n+a^n}}$} $$\int{\frac{x^{n-1}}{x^n+a^n}}= \frac{1}{n}\ln(x^n+a^n) $$ <<*>>= )clear all --S 8 aa:=integrate(x^(n-1)/(x^n+a^n),x) --R --R --R n log(x) n --R log(%e + a ) --R (1) -------------------- --R n --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 9 bb:=1/n*log(x^n+a^n) --R --R n n --R log(x + a ) --R (2) ------------ --R n --R Type: Expression Integer --E --S 10 cc:=aa-bb --R --R n log(x) n n n --R log(%e + a ) - log(x + a ) --R (3) ----------------------------------- --R n --R Type: Expression Integer --E --S 11 explog:=rule(%e^(n*log(x)) == x^n) --R --R n log(x) n --R (4) %e == x --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 12 14:326 Schaums and Axiom agree dd:=explog cc --R --R (5) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.327~~~~~$\displaystyle \int{\frac{x^m~dx}{(x^n+a^n)^r}}$} $$\int{\frac{x^m}{(x^n+a^n)^r}}= \int{\frac{x^{m-n}}{(x^n+a^n)^{r-1}}} -a^n\int{\frac{x^{m-n}}{(x^n+a^n)^r}} $$ <<*>>= )clear all --S 13 14:327 Axiom cannot compute this integral aa:=integrate(x^m/(x^n+a^n)^r,x) --R --R --R x m --I ++ %J --I (1) | ----------- d%J --R ++ n n r --I (a + %J ) --R Type: Union(Expression Integer,...) --E @ \section{\cite{1}:14.328~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{x^m(x^n+a^n)^r}}$} $$\int{\frac{1}{x^m(x^n+a^n)^r}}= \frac{1}{a^n}\int{\frac{1}{x^m(x^n+a^n)^{r-1}}} -\frac{1}{a^n}\int{\frac{1}{x^{m-n}(x^n+a^n)^r}} $$ <<*>>= )clear all --S 14 14:328 Axiom cannot compute this integral aa:=integrate(1/(x^m*(x^n+a^n)^r),x) --R --R --R x --R ++ 1 --I (1) | -------------- d%J --R ++ m n n r --I %J (a + %J ) --R Type: Union(Expression Integer,...) --E @ \section{\cite{1}:14.329~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{x\sqrt{x^n+a^n}}}$} $$\int{\frac{1}{x\sqrt{x^n+a^n}}}= \frac{1}{n\sqrt{a^n}}\ln\left(\frac{\sqrt{x^n+a^n}-\sqrt{a^n}} {\sqrt{x^n+a^n}+\sqrt{a^n}}\right) $$ <<*>>= )clear all --S 15 aa:=integrate(1/(x*sqrt(x^n+a^n)),x) --R --R --R (1) --R +---------------+ +--+ --R n | n log(x) n n log(x) n | n --R - 2a \|%e + a + (%e + 2a )\|a --R log(-------------------------------------------------) --R n log(x) --R %e --R [------------------------------------------------------, --R +--+ --R | n --R n\|a --R +----+ +---------------+ --R | n | n log(x) n --R \|- a \|%e + a --R 2atan(-------------------------) --R n --R a --R - --------------------------------] --R +----+ --R | n --R n\|- a --R Type: Union(List Expression Integer,...) --E --S 16 bb:=1/(n*sqrt(a^n))*log((sqrt(x^n+a^n)-sqrt(a^n))/(sqrt(x^n+a^n)+sqrt(a^n))) --R --R +-------+ +--+ --R | n n | n --R \|x + a - \|a --R log(------------------) --R +-------+ +--+ --R | n n | n --R \|x + a + \|a --R (2) ----------------------- --R +--+ --R | n --R n\|a --R Type: Expression Integer --E --S 17 cc1:=aa.1-bb --R --R (3) --R +---------------+ +--+ --R n | n log(x) n n log(x) n | n --R - 2a \|%e + a + (%e + 2a )\|a --R log(-------------------------------------------------) --R n log(x) --R %e --R + --R +-------+ +--+ --R | n n | n --R \|x + a - \|a --R - log(------------------) --R +-------+ +--+ --R | n n | n --R \|x + a + \|a --R / --R +--+ --R | n --R n\|a --R Type: Expression Integer --E --S 18 dd1:=expandLog cc1 --R --R (4) --R +---------------+ +--+ --R n | n log(x) n n log(x) n | n --R log(2a \|%e + a + (- %e - 2a )\|a ) --R + --R +-------+ +--+ +-------+ +--+ --R | n n | n | n n | n --R log(\|x + a + \|a ) - log(\|x + a - \|a ) - n log(x) + log(- 1) --R / --R +--+ --R | n --R n\|a --R Type: Expression Integer --E --S 19 explog:=rule(%e^(n*log(x)) == x^n) --R --R n log(x) n --R (5) %e == x --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 20 ee1:=explog dd1 --R --R (6) --R +-------+ +--+ +-------+ +--+ --R n | n n n n | n | n n | n --R log(2a \|x + a + (- x - 2a )\|a ) + log(\|x + a + \|a ) --R + --R +-------+ +--+ --R | n n | n --R - log(\|x + a - \|a ) - n log(x) + log(- 1) --R / --R +--+ --R | n --R n\|a --R Type: Expression Integer --E --S 21 ff1:=complexNormalize ee1 --R --R n log(a) + 4log(- 1) --R (7) -------------------- --R +----------+ --R | n log(a) --R 2n\|%e --R Type: Expression Integer --E --S 22 14:329 Schaums and Axiom differ by a constant gg1:=explog ff1 --R --R n log(a) + 4log(- 1) --R (8) -------------------- --R +--+ --R | n --R 2n\|a --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.330~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{x(x^n-a^n)}}$} $$\int{\frac{1}{x(x^n-a^n)}}= \frac{1}{na^n}\ln\left(\frac{x^n-a^n}{x^n}\right) $$ <<*>>= )clear all --S 23 aa:=integrate(1/(x*(x^n-a^n)),x) --R --R --R n log(x) n --R log(%e - a ) - n log(x) --R (1) ------------------------------- --R n --R n a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 24 bb:=1/(n*a^n)*log((x^n-a^n)/x^n) --R --R n n --R x - a --R log(-------) --R n --R x --R (2) ------------ --R n --R n a --R Type: Expression Integer --E --S 25 cc:=aa-bb --R --R n n --R n log(x) n x - a --R log(%e - a ) - log(-------) - n log(x) --R n --R x --R (3) ---------------------------------------------- --R n --R n a --R Type: Expression Integer --E --S 26 dd:=expandLog cc --R --R n log(x) n n n n --R log(%e - a ) + log(x ) - log(x - a ) - n log(x) --R (4) -------------------------------------------------------- --R n --R n a --R Type: Expression Integer --E --S 27 explog:=rule(%e^(n*log(x)) == x^n) --R --R n log(x) n --R (5) %e == x --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 28 ee:=explog dd --R --R n --R log(x ) - n log(x) --R (6) ------------------ --R n --R n a --R Type: Expression Integer --E --S 29 logpow:=rule(log(a^n) == n*log(a)) --R --R n --R (7) log(a ) == n log(a) --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 30 14:330 Schaums and Axiom agree ff:=logpow ee --R --R (8) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.331~~~~~$\displaystyle \int{\frac{x^{n-1}dx}{x^n-a^n}}$} $$\int{\frac{x^{n-1}}{x^n-a^n}}= \frac{1}{n}\ln(x^n-a^n) $$ <<*>>= )clear all --S 31 aa:=integrate(x^(n-1)/(x^n-a^n),x) --R --R --R n log(x) n --R log(%e - a ) --R (1) -------------------- --R n --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 32 bb:=1/n*log(x^n-a^n) --R --R n n --R log(x - a ) --R (2) ------------ --R n --R Type: Expression Integer --E --S 33 cc:=aa-bb --R --R n log(x) n n n --R log(%e - a ) - log(x - a ) --R (3) ----------------------------------- --R n --R Type: Expression Integer --E --S 34 explog:=rule(%e^(n*log(x)) == x^n) --R --R n log(x) n --R (4) %e == x --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 35 14:331 Schaums and Axiom agree dd:=explog cc --R --R (5) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.332~~~~~$\displaystyle \int{\frac{x^m~dx}{(x^n-a^n)^r}}$} $$\int{\frac{x^m}{(x^n-a^n)^r}}= a^n\int{\frac{x^{m-n}}{(x^n-a^n)^r}} +\int{\frac{x^{m-n}}{(x^n-a^n)^{r-1}}} $$ <<*>>= )clear all --S 36 14:332 Axiom cannot compute this integral aa:=integrate(x^m/(x^n-a^n)^r,x) --R --R --R x m --I ++ %J --I (1) | ------------- d%J --R ++ n n r --I (- a + %J ) --R Type: Union(Expression Integer,...) --E @ \section{\cite{1}:14.333~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{x^m(x^n-a^n)^r}}$} $$\int{\frac{1}{x^m(x^n-a^n)^r}}= \frac{1}{a^n}\int{\frac{1}{x^{m-n}(x^n-a^n)^r}} -\frac{1}{a^n}\int{\frac{1}{x^m(x^n-a^n)^{r-1}}} $$ <<*>>= )clear all --S 37 14:333 Axiom cannot compute this integral aa:=integrate(1/(x^m*(x^n-a^n)^r),x) --R --R --R x --R ++ 1 --I (1) | ---------------- d%J --R ++ m n n r --I %J (- a + %J ) --R Type: Union(Expression Integer,...) --E @ \section{\cite{1}:14.334~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{x\sqrt{x^n-a^n}}}$} $$\int{\frac{1}{x\sqrt{x^n-a^n}}}= \frac{2}{n\sqrt{a^n}}\cos^{-1}\sqrt{\frac{a^n}{x^n}} $$ <<*>>= )clear all --S 38 aa:=integrate(1/(x*sqrt(x^n-a^n)),x) --R --R --R (1) --R +---------------+ +----+ --R n | n log(x) n n log(x) n | n --R 2a \|%e - a + (%e - 2a )\|- a --R log(-------------------------------------------------) --R n log(x) --R %e --R [------------------------------------------------------, --R +----+ --R | n --R n\|- a --R +--+ +---------------+ --R | n | n log(x) n --R \|a \|%e - a --R 2atan(-----------------------) --R n --R a --R ------------------------------] --R +--+ --R | n --R n\|a --R Type: Union(List Expression Integer,...) --E --S 39 bb:=2/(n*sqrt(a^n))*acos(sqrt(a^n/x^n)) --R --R +--+ --R | n --R |a --R 2acos( |-- ) --R | n --R \|x --R (2) ------------ --R +--+ --R | n --R n\|a --R Type: Expression Integer --E --S 40 cc1:=aa.1-bb --R --R (3) --R +---------------+ +----+ --R +--+ n | n log(x) n n log(x) n | n --R | n 2a \|%e - a + (%e - 2a )\|- a --R \|a log(-------------------------------------------------) --R n log(x) --R %e --R + --R +--+ --R +----+ | n --R | n |a --R - 2\|- a acos( |-- ) --R | n --R \|x --R / --R +----+ +--+ --R | n | n --R n\|- a \|a --R Type: Expression Integer --E --S 41 14:334 Axiom cannot simplify this expression cc2:=aa.2-bb --R --R +--+ +---------------+ +--+ --R | n | n log(x) n | n --R \|a \|%e - a |a --R 2atan(-----------------------) - 2acos( |-- ) --R n | n --R a \|x --R (4) --------------------------------------------- --R +--+ --R | n --R n\|a --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.335~~~~~$\displaystyle \int{\frac{x^{p-1}~dx}{x^{2m}+a^{2m}}}$ provided $0
>= )clear all --S 42 14:335 Axiom cannot compute this integral aa:=integrate(x^(p-1)/(x^(2*m)+a^(2*m)),x) --R --R --R x p - 1 --I ++ %J --I (1) | ---------- d%J --R ++ 2m 2m --I a + %J --R Type: Union(Expression Integer,...) --E @ \section{\cite{1}:14.336~~~~~$\displaystyle \int{\frac{x^{p-1}dx}{x^{2m}-a^{2m}}}$ provided $0
>= )clear all --S 43 14:336 Axiom cannot compute this integral aa:=integrate(x^(p-1)/(x^(2*m)-a^(2*m)),x) --R --R --R x p - 1 --I ++ %J --I (1) | - ---------- d%J --R ++ 2m 2m --I a - %J --R Type: Union(Expression Integer,...) --E @ \section{\cite{1}:14.337~~~~~$\displaystyle \int{\frac{x^{p-1}~dx}{x^{2m+1}+a^{2m+1}}}$ provided $0
>= )clear all --S 44 14:337 Axiom cannot compute this integral aa:=integrate(x^(p-1)/(x^(2*m+1)+a^(2*m+1)),x) --R --R --R x p - 1 --I ++ %J --I (1) | ------------------ d%J --R ++ 2m + 1 2m + 1 --I a + %J --R Type: Union(Expression Integer,...) --E @ \section{\cite{1}:14.338~~~~~$\displaystyle \int{\frac{x^{p-1}~dx}{x^{2m+1}-a^{2m+1}}}$ provided $0
>= )clear all --S 45 14:338 Axiom cannot compute this integral aa:=integrate(x^(p-1)/(x^(2*m+1)-a^(2*m+1)),x) --R --R --R x p - 1 --I ++ %J --I (1) | - ------------------ d%J --R ++ 2m + 1 2m + 1 --I a - %J --R Type: Union(Expression Integer,...) --E )spool )lisp (bye) @ \eject \begin{thebibliography}{99} \bibitem{1} Spiegel, Murray R. {\sl Mathematical Handbook of Formulas and Tables}\\ Schaum's Outline Series McGraw-Hill 1968 pp74-75 \end{thebibliography} \end{document}