\documentclass{article} \usepackage{axiom} \begin{document} \title{\$SPAD/input schaum17.input} \author{Timothy Daly} \maketitle \eject \tableofcontents \eject \section{\cite{1}:14.339~~~~~$\displaystyle \int{\sin ax ~dx}$} $$\int{\sin ax}= -\frac{\cos{ax}}{a} $$ <<*>>= )spool schaum17.output )set message test on )set message auto off )clear all --S 1 aa:=integrate(sin(a*x),x) --R --R --R cos(a x) --R (1) - -------- --R a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 2 bb:=-cos(a*x)/a --R --R cos(a x) --R (2) - -------- --R a --R Type: Expression Integer --E --S 3 14:339 Schaums and Axiom agree cc:=aa-bb --R --R (3) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.340~~~~~$\displaystyle \int{x\sin{ax}~dx}$} $$\int{x\sin{ax}}= \frac{\sin{ax}}{a^2}-\frac{x\cos{ax}}{a} $$ <<*>>= )clear all --S 4 aa:=integrate(x*sin(a*x),x) --R --R --R sin(a x) - a x cos(a x) --R (1) ----------------------- --R 2 --R a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 5 bb:=sin(a*x)/a^2-(x*cos(a*x))/a --R --R sin(a x) - a x cos(a x) --R (2) ----------------------- --R 2 --R a --R Type: Expression Integer --E --S 6 14:340 Schaums and Axiom agree cc:=aa-bb --R --R (3) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.341~~~~~$\displaystyle \int{x^2\sin{ax}~dx}$} $$\int{x^2\sin{ax}}= \frac{2x}{a^2}\sin{ax}+\left(\frac{2}{a^3}-\frac{x^2}{a}\right)\cos{ax} $$ <<*>>= )clear all --S 7 aa:=integrate(x^2*sin(a*x),x) --R --R --R 2 2 --R 2a x sin(a x) + (- a x + 2)cos(a x) --R (1) ------------------------------------ --R 3 --R a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 8 bb:=(2*x)/a^2*sin(a*x)+(2/a^3-x^2/a)*cos(a*x) --R --R 2 2 --R 2a x sin(a x) + (- a x + 2)cos(a x) --R (2) ------------------------------------ --R 3 --R a --R Type: Expression Integer --E --S 9 14:341 Schaums and Axiom agree cc:=aa-bb --R --R (3) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.342~~~~~$\displaystyle \int{x^3\sin{ax}~dx}$} $$\int{x^3\sin{ax}}= \left(\frac{3x^2}{a^2}-\frac{6}{a^4}\right)\sin{ax} +\left(\frac{6x}{a^3}-\frac{x^3}{a}\right)\cos{ax} $$ <<*>>= )clear all --S 10 aa:=integrate(x^3*sin(a*x),x) --R --R --R 2 2 3 3 --R (3a x - 6)sin(a x) + (- a x + 6a x)cos(a x) --R (1) --------------------------------------------- --R 4 --R a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 11 bb:=((3*x^2)/a^2-6/a^4)*sin(a*x)+(6*x/a^3-x^3/a)*cos(a*x) --R --R 2 2 3 3 --R (3a x - 6)sin(a x) + (- a x + 6a x)cos(a x) --R (2) --------------------------------------------- --R 4 --R a --R Type: Expression Integer --E --S 12 14:342 Schaums and Axiom agree cc:=aa-bb --R --R (3) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.343~~~~~$\displaystyle \int{\frac{\sin{ax}}{x}}~dx$} $$\int{\frac{\sin{ax}}{x}}= ax-\frac{(ax)^3}{3\cdot 3!}+\frac{(ax)^5}{5\cdot 5!}-\cdots $$ <<*>>= )clear all --S 13 14:343 Schaums and Axiom agree by definition aa:=integrate(sin(x)/x,x) --R --R --R (1) Si(x) --R Type: Union(Expression Integer,...) --E @ \section{\cite{1}:14.344~~~~~$\displaystyle \int{\frac{\sin{ax}}{x^2}}~dx$} $$\int{\frac{\sin{ax}}{x^2}}= -\frac{\sin{ax}}{x}+a\int{\frac{\cos{ax}}{x}} $$ <<*>>= )clear all --S 14 14:344 Axiom cannot compute this integral aa:=integrate(sin(a*x)/x^2,x) --R --R --R x --I ++ sin(%I a) --I (1) | --------- d%I --R ++ 2 --I %I --R Type: Union(Expression Integer,...) --E @ \section{\cite{1}:14.345~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{\sin{ax}}}$} $$\int{\frac{1}{\sin{ax}}}= \frac{1}{a}\ln(\csc{ax}-\cot{ax})= \frac{1}{a}\ln\tan\frac{ax}{2} $$ <<*>>= )clear all --S 15 aa:=integrate(1/sin(a*x),x) --R --R --R sin(a x) --R log(------------) --R cos(a x) + 1 --R (1) ----------------- --R a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 16 bb:=1/a*log(tan((a*x)/2)) --R --R a x --R log(tan(---)) --R 2 --R (2) ------------- --R a --R Type: Expression Integer --E --S 17 cc:=aa-bb --R --R a x sin(a x) --R - log(tan(---)) + log(------------) --R 2 cos(a x) + 1 --R (3) ----------------------------------- --R a --R Type: Expression Integer --E --S 18 14:345 Schaums and Axiom agree dd:=complexNormalize cc --R --R (4) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.346~~~~~$\displaystyle \int{\frac{x~dx}{\sin{ax}}}$} $$\int{\frac{x}{\sin{ax}}}= \frac{1}{a^2}\left\{ ax+\frac{(ax)^3}{18}+\frac{7(ax)^5}{1800}+\cdots+ \frac{2(2^{2n-1}-1)B_n(ax)^{2n+1}}{(2n+1)!}+\cdots\right\} $$ <<*>>= )clear all --S 19 14:346 Axiom cannot compute this integral aa:=integrate(x/sin(a*x),x) --R --R --R x --I ++ %I --I (1) | --------- d%I --I ++ sin(%I a) --R Type: Union(Expression Integer,...) --E @ \section{\cite{1}:14.347~~~~~$\displaystyle \int{\sin^2{ax}}~dx$} $$\int{\sin^2{ax}}= \frac{x}{2}-\frac{\sin{2ax}}{4a} $$ <<*>>= )clear all --S 20 aa:=integrate(sin(a*x)^2,x) --R --R --R - cos(a x)sin(a x) + a x --R (1) ------------------------ --R 2a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 21 bb:=x/2-sin(2*a*x)/(4*a) --R --R - sin(2a x) + 2a x --R (2) ------------------ --R 4a --R Type: Expression Integer --E --S 22 cc:=aa-bb --R --R sin(2a x) - 2cos(a x)sin(a x) --R (3) ----------------------------- --R 4a --R Type: Expression Integer --E --S 23 14:347 Schaums and Axiom agreee dd:=complexNormalize cc --R --R (4) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.348~~~~~$\displaystyle \int{x\sin^2{ax}}~dx$} $$\int{x\sin^2{ax}}= \frac{x^2}{4}-\frac{x\sin{2ax}}{4a}-\frac{\cos{2ax}}{8a^2} $$ <<*>>= )clear all --S 24 aa:=integrate(x*sin(a*x)^2,x) --R --R --R 2 2 2 --R - 2a x cos(a x)sin(a x) - cos(a x) + a x --R (1) ------------------------------------------ --R 2 --R 4a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 25 bb:=x^2/4-(x*sin(2*a*x))/(4*a)-cos(2*a*x)/(8*a^2) --R --R 2 2 --R - 2a x sin(2a x) - cos(2a x) + 2a x --R (2) ------------------------------------ --R 2 --R 8a --R Type: Expression Integer --E --S 26 cc:=aa-bb --R --R 2 --R 2a x sin(2a x) - 4a x cos(a x)sin(a x) + cos(2a x) - 2cos(a x) --R (3) --------------------------------------------------------------- --R 2 --R 8a --R Type: Expression Integer --E --S 27 14:348 Schaums and Axiom differ by a constant dd:=complexNormalize cc --R --R 1 --R (4) - --- --R 2 --R 8a --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.349~~~~~$\displaystyle \int{\sin^3{ax}}~dx$} $$\int{\sin^3{ax}}= -\frac{\cos{ax}}{a}+\frac{\cos^3{ax}}{3a} $$ <<*>>= )clear all --S 28 aa:=integrate(sin(a*x)^3,x) --R --R --R 3 --R cos(a x) - 3cos(a x) --R (1) --------------------- --R 3a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 29 bb:=-cos(a*x)/a+cos(a*x)^3/(3*a) --R --R 3 --R cos(a x) - 3cos(a x) --R (2) --------------------- --R 3a --R Type: Expression Integer --E --S 30 14:349 Schaums and Axiom agree cc:=aa-bb --R --R (3) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.350~~~~~$\displaystyle \int{\sin^4{ax}}~dx$} $$\int{\sin^4{ax}}= \frac{3x}{8}-\frac{\sin{2ax}}{4a}+\frac{\sin{4ax}}{32a} $$ <<*>>= )clear all --S 31 aa:=integrate(sin(a*x)^4,x) --R --R --R 3 --R (2cos(a x) - 5cos(a x))sin(a x) + 3a x --R (1) --------------------------------------- --R 8a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 32 bb:=(3*x)/8-sin(2*a*x)/(4*a)+sin(4*a*x)/(32*a) --R --R sin(4a x) - 8sin(2a x) + 12a x --R (2) ------------------------------ --R 32a --R Type: Expression Integer --E --S 33 cc:=aa-bb --R --R 3 --R - sin(4a x) + 8sin(2a x) + (8cos(a x) - 20cos(a x))sin(a x) --R (3) ------------------------------------------------------------ --R 32a --R Type: Expression Integer --E --S 34 14:350 Schaums and Axiom agree dd:=complexNormalize cc --R --R (4) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.351~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{\sin^2{ax}}}$} $$\int{\frac{1}{\sin^2{ax}}}= -\frac{1}{a}\cot{ax} $$ <<*>>= )clear all --S 35 aa:=integrate(1/sin(a*x)^2,x) --R --R --R cos(a x) --R (1) - ---------- --R a sin(a x) --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 36 bb:=-1/a*cot(a*x) --R --R cot(a x) --R (2) - -------- --R a --R Type: Expression Integer --E --S 37 cc:=aa-bb --R --R cot(a x)sin(a x) - cos(a x) --R (3) --------------------------- --R a sin(a x) --R Type: Expression Integer --E --S 38 14:351 Schaums and Axiom agree dd:=complexNormalize cc --R --R (4) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.352~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{\sin^3{ax}}}$} $$\int{\frac{1}{\sin^3{ax}}}= -\frac{\cos{ax}}{2a\sin^2{ax}}+\frac{1}{2a}\ln\tan\frac{ax}{2} $$ <<*>>= )clear all --S 39 aa:=integrate(1/sin(a*x)^3,x) --R --R --R 2 sin(a x) --R (cos(a x) - 1)log(------------) + cos(a x) --R cos(a x) + 1 --R (1) ------------------------------------------- --R 2 --R 2a cos(a x) - 2a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 40 bb:=-cos(a*x)/(2*a*sin(a*x)^2)+1/(2*a)*log(tan((a*x)/2)) --R --R 2 a x --R sin(a x) log(tan(---)) - cos(a x) --R 2 --R (2) --------------------------------- --R 2 --R 2a sin(a x) --R Type: Expression Integer --E --S 41 cc:=aa-bb --R --R (3) --R 2 2 a x --R (- cos(a x) + 1)sin(a x) log(tan(---)) --R 2 --R + --R 2 2 sin(a x) 2 3 --R (cos(a x) - 1)sin(a x) log(------------) + cos(a x)sin(a x) + cos(a x) --R cos(a x) + 1 --R + --R - cos(a x) --R / --R 2 2 --R (2a cos(a x) - 2a)sin(a x) --R Type: Expression Integer --E --S 42 dd:=expandLog cc --R --R (4) --R 2 2 a x --R (- cos(a x) + 1)sin(a x) log(tan(---)) --R 2 --R + --R 2 2 --R (cos(a x) - 1)sin(a x) log(sin(a x)) --R + --R 2 2 2 --R (- cos(a x) + 1)sin(a x) log(cos(a x) + 1) + cos(a x)sin(a x) --R + --R 3 --R cos(a x) - cos(a x) --R / --R 2 2 --R (2a cos(a x) - 2a)sin(a x) --R Type: Expression Integer --E --S 43 14:352 Schaums and Axiom agree ee:=complexNormalize dd --R --R (5) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.353~~~~~$\displaystyle \int{\sin{px}\sin{qx}}~dx$} $$\int{\sin{px}\sin{qx}}= \frac{\sin{(p-q)x}}{2(p-q)}-\frac{\sin{(p+q)x}}{2(p+q)} $$ <<*>>= )clear all --S 44 aa:=integrate(sin(p*x)*sin(q*x),x) --R --R --R p cos(p x)sin(q x) - q cos(q x)sin(p x) --R (1) --------------------------------------- --R 2 2 --R q - p --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 45 bb:=sin((p-q)*x)/(2*(p-q))-sin((p+q)*x)/(2*(p+q)) --R --R (- q + p)sin((q + p)x) + (q + p)sin((q - p)x) --R (2) --------------------------------------------- --R 2 2 --R 2q - 2p --R Type: Expression Integer --E --S 46 cc:=aa-bb --R --R (3) --R (q - p)sin((q + p)x) + 2p cos(p x)sin(q x) + (- q - p)sin((q - p)x) --R + --R - 2q cos(q x)sin(p x) --R / --R 2 2 --R 2q - 2p --R Type: Expression Integer --E --S 47 14:353 Schams and Axiom agree dd:=complexNormalize cc --R --R (4) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.354~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{1-\sin{ax}}}$} $$\int{\frac{1}{1-\sin{ax}}}= \frac{1}{a}\tan\left(\frac{\pi}{4}+\frac{ax}{2}\right) $$ <<*>>= )clear all --S 48 aa:=integrate(1/(1-sin(a*x)),x) --R --R --R - 2cos(a x) - 2 --R (1) --------------------------- --R a sin(a x) - a cos(a x) - a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 49 bb:=1/a*tan(%pi/4+(a*x)/2) --R --R 2a x + %pi --R tan(----------) --R 4 --R (2) --------------- --R a --R Type: Expression Integer --E --S 50 cc:=aa-bb --R --R 2a x + %pi --R (- sin(a x) + cos(a x) + 1)tan(----------) - 2cos(a x) - 2 --R 4 --R (3) ---------------------------------------------------------- --R a sin(a x) - a cos(a x) - a --R Type: Expression Integer --E --S 51 14:354 Schaums and Axiom differ by a constant dd:=complexNormalize cc --R --R 1 --R (4) - --R a --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.355~~~~~$\displaystyle \int{\frac{x~dx}{1-\sin{ax}}}$} $$\int{\frac{x}{1-\sin{ax}}}= \frac{x}{a}\tan\left(\frac{\pi}{4}+\frac{ax}{2}\right) +\frac{2}{a^2}\ln~\sin\left(\frac{\pi}{4}-\frac{ax}{2}\right) $$ <<*>>= )clear all --S 52 aa:=integrate(x/(1-sin(ax)),x) --R --R --R 2 --R x --R (1) - ------------ --R 2sin(ax) - 2 --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 53 bb:=x/a*tan(%pi/4+(a*x)/2)+2/a^2*log(sin(%pi/4-(a*x)/2)) --R --R 2a x - %pi 2a x + %pi --R 2log(- sin(----------)) + a x tan(----------) --R 4 4 --R (2) --------------------------------------------- --R 2 --R a --R Type: Expression Integer --E --S 54 14:355 Axiom cannot simplify this expression cc:=aa-bb --R --R (3) --R 2a x - %pi --R (- 4sin(ax) + 4)log(- sin(----------)) --R 4 --R + --R 2a x + %pi 2 2 --R (- 2a x sin(ax) + 2a x)tan(----------) - a x --R 4 --R / --R 2 2 --R 2a sin(ax) - 2a --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.356~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{1+\sin{ax}}}$} $$\int{\frac{1}{1+\sin{ax}}}= -\frac{1}{a}\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{ax}{2}\right) $$ <<*>>= )clear all --S 55 aa:=integrate(1/(1+sin(ax)),x) --R --R --R x --R (1) ----------- --R sin(ax) + 1 --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 56 bb:=-1/a*tan(%pi/4-(a*x)/2) --R --R 2a x - %pi --R tan(----------) --R 4 --R (2) --------------- --R a --R Type: Expression Integer --E --S 57 cc:=aa-bb --R --R 2a x - %pi --R (- sin(ax) - 1)tan(----------) + a x --R 4 --R (3) ------------------------------------ --R a sin(ax) + a --R Type: Expression Integer --E --S 58 tanrule:=rule(tan(a/b) == sin(a)/cos(b)) --R --R a sin(a) --R (4) tan(-) == ------ --R b cos(b) --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 59 14:356 Axiom cannot simplify this expression dd:=tanrule cc --R --R (- sin(ax) - 1)sin(2a x - %pi) + a x cos(4) --R (5) ------------------------------------------- --R a cos(4)sin(ax) + a cos(4) --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.357~~~~~$\displaystyle \int{\frac{x~dx}{1+\sin{ax}}}$} $$\int{\frac{x}{1+\sin{ax}}}= -\frac{x}{a}\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{ax}{2}\right) +\frac{2}{a^2}\ln~\sin\left(\frac{\pi}{4}+\frac{ax}{2}\right) $$ <<*>>= )clear all --S 60 aa:=integrate(x/(1+sin(a*x)),x) --R --R --R (1) --R sin(a x) + cos(a x) + 1 --R (2sin(a x) + 2cos(a x) + 2)log(-----------------------) --R cos(a x) + 1 --R + --R 2 --R (- sin(a x) - cos(a x) - 1)log(------------) + a x sin(a x) --R cos(a x) + 1 --R + --R - a x cos(a x) - a x --R / --R 2 2 2 --R a sin(a x) + a cos(a x) + a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 61 bb:=-x/a*tan(%pi/4-(a*x)/2)+2/a^2*log(sin(%pi/4+(a*x)/2)) --R --R 2a x + %pi 2a x - %pi --R 2log(sin(----------)) + a x tan(----------) --R 4 4 --R (2) ------------------------------------------- --R 2 --R a --R Type: Expression Integer --E --S 62 14:257 Axiom cannot simplify this expression cc:=aa-bb --R --R (3) --R sin(a x) + cos(a x) + 1 --R (2sin(a x) + 2cos(a x) + 2)log(-----------------------) --R cos(a x) + 1 --R + --R 2a x + %pi --R (- 2sin(a x) - 2cos(a x) - 2)log(sin(----------)) --R 4 --R + --R 2 --R (- sin(a x) - cos(a x) - 1)log(------------) --R cos(a x) + 1 --R + --R 2a x - %pi --R (- a x sin(a x) - a x cos(a x) - a x)tan(----------) + a x sin(a x) --R 4 --R + --R - a x cos(a x) - a x --R / --R 2 2 2 --R a sin(a x) + a cos(a x) + a --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.358~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{(1-\sin{ax})^2}}$} $$\int{\frac{1}{(1-\sin{ax})^2}}= \frac{1}{2a}\tan\left(\frac{\pi}{4}+\frac{ax}{2}\right) +\frac{1}{6a}\tan^3\left(\frac{\pi}{4}+\frac{ax}{2}\right) $$ <<*>>= )clear all --S 63 aa:=integrate(1/(1-sin(a*x))^2,x) --R --R 2 --R (3cos(a x) + 3)sin(a x) + cos(a x) - 4cos(a x) - 5 --R (1) ------------------------------------------------------------ --R 2 --R (3a cos(a x) + 6a)sin(a x) + 3a cos(a x) - 3a cos(a x) - 6a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 64 bb:=1/(2*a)*tan(%pi/4+(a*x)/2)+1/(6*a)*tan(%pi/4+(a*x)/2)^3 --R --R 2a x + %pi 3 2a x + %pi --R tan(----------) + 3tan(----------) --R 4 4 --R (2) ----------------------------------- --R 6a --R Type: Expression Integer --E --S 65 cc:=aa-bb --R --R (3) --R 2 2a x + %pi 3 --R ((- cos(a x) - 2)sin(a x) - cos(a x) + cos(a x) + 2)tan(----------) --R 4 --R + --R 2 2a x + %pi --R ((- 3cos(a x) - 6)sin(a x) - 3cos(a x) + 3cos(a x) + 6)tan(----------) --R 4 --R + --R 2 --R (6cos(a x) + 6)sin(a x) + 2cos(a x) - 8cos(a x) - 10 --R / --R 2 --R (6a cos(a x) + 12a)sin(a x) + 6a cos(a x) - 6a cos(a x) - 12a --R Type: Expression Integer --E --S 66 tanrule:=rule(tan(a) == sin(a)/cos(a)) --R --R sin(a) --R (4) tan(a) == ------ --R cos(a) --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 67 dd:=tanrule cc --R --R (5) --R 2a x + %pi 3 --R (- cos(a x) - 2)sin(----------) --R 4 --R + --R 2a x + %pi 2 2a x + %pi 2 2a x + %pi --R (- 3cos(----------) cos(a x) - 6cos(----------) )sin(----------) --R 4 4 4 --R + --R 2a x + %pi 3 2a x + %pi 3 --R 6cos(----------) cos(a x) + 6cos(----------) --R 4 4 --R * --R sin(a x) --R + --R 2 2a x + %pi 3 --R (- cos(a x) + cos(a x) + 2)sin(----------) --R 4 --R + --R 2a x + %pi 2 2 2a x + %pi 2 --R - 3cos(----------) cos(a x) + 3cos(----------) cos(a x) --R 4 4 --R + --R 2a x + %pi 2 --R 6cos(----------) --R 4 --R * --R 2a x + %pi --R sin(----------) --R 4 --R + --R 2a x + %pi 3 2 2a x + %pi 3 2a x + %pi 3 --R 2cos(----------) cos(a x) - 8cos(----------) cos(a x) - 10cos(----------) --R 4 4 4 --R / --R 2a x + %pi 3 2a x + %pi 3 --R (6a cos(----------) cos(a x) + 12a cos(----------) )sin(a x) --R 4 4 --R + --R 2a x + %pi 3 2 2a x + %pi 3 --R 6a cos(----------) cos(a x) - 6a cos(----------) cos(a x) --R 4 4 --R + --R 2a x + %pi 3 --R - 12a cos(----------) --R 4 --R Type: Expression Integer --E --S 68 sindiffrule2:=rule(sin((a-b)/4) == sin(a/4)*cos(b/4)-cos(a/4)*sin(b/4)) --R --R b - a a b b a --I (6) - %K sin(-----) == - %K cos(-)sin(-) + %K cos(-)sin(-) --R 4 4 4 4 4 --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 69 ee:=sindiffrule2 dd --R --R (7) --R 2a x + %pi 3 --R (- cos(a x) - 2)sin(----------) --R 4 --R + --R 2a x + %pi 2 2a x + %pi 2 2a x + %pi --R (- 3cos(----------) cos(a x) - 6cos(----------) )sin(----------) --R 4 4 4 --R + --R 2a x + %pi 3 2a x + %pi 3 --R 6cos(----------) cos(a x) + 6cos(----------) --R 4 4 --R * --R sin(a x) --R + --R 2 2a x + %pi 3 --R (- cos(a x) + cos(a x) + 2)sin(----------) --R 4 --R + --R 2a x + %pi 2 2 2a x + %pi 2 --R - 3cos(----------) cos(a x) + 3cos(----------) cos(a x) --R 4 4 --R + --R 2a x + %pi 2 --R 6cos(----------) --R 4 --R * --R 2a x + %pi --R sin(----------) --R 4 --R + --R 2a x + %pi 3 2 2a x + %pi 3 2a x + %pi 3 --R 2cos(----------) cos(a x) - 8cos(----------) cos(a x) - 10cos(----------) --R 4 4 4 --R / --R 2a x + %pi 3 2a x + %pi 3 --R (6a cos(----------) cos(a x) + 12a cos(----------) )sin(a x) --R 4 4 --R + --R 2a x + %pi 3 2 2a x + %pi 3 --R 6a cos(----------) cos(a x) - 6a cos(----------) cos(a x) --R 4 4 --R + --R 2a x + %pi 3 --R - 12a cos(----------) --R 4 --R Type: Expression Integer --E --S 70 sincuberule:=rule(sin(a)^3 == 3/4*sin(a)-1/4*sin(3*a)) --R --R 3 - sin(3a) + 3sin(a) --R (8) sin(a) == ------------------- --R 4 --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 71 ff:=sincuberule ee --R --R (9) --R 2 6a x + 3%pi --R ((cos(a x) + 2)sin(a x) + cos(a x) - cos(a x) - 2)sin(-----------) --R 4 --R + --R 2a x + %pi 2 2a x + %pi 2 --R ((- 12cos(----------) - 3)cos(a x) - 24cos(----------) - 6) --R 4 4 --R * --R 2a x + %pi --R sin(----------) --R 4 --R + --R 2a x + %pi 3 2a x + %pi 3 --R 24cos(----------) cos(a x) + 24cos(----------) --R 4 4 --R * --R sin(a x) --R + --R 2a x + %pi 2 2 --R (- 12cos(----------) - 3)cos(a x) --R 4 --R + --R 2a x + %pi 2 2a x + %pi 2 --R (12cos(----------) + 3)cos(a x) + 24cos(----------) + 6 --R 4 4 --R * --R 2a x + %pi --R sin(----------) --R 4 --R + --R 2a x + %pi 3 2 2a x + %pi 3 --R 8cos(----------) cos(a x) - 32cos(----------) cos(a x) --R 4 4 --R + --R 2a x + %pi 3 --R - 40cos(----------) --R 4 --R / --R 2a x + %pi 3 2a x + %pi 3 --R (24a cos(----------) cos(a x) + 48a cos(----------) )sin(a x) --R 4 4 --R + --R 2a x + %pi 3 2 2a x + %pi 3 --R 24a cos(----------) cos(a x) - 24a cos(----------) cos(a x) --R 4 4 --R + --R 2a x + %pi 3 --R - 48a cos(----------) --R 4 --R Type: Expression Integer --E --S 72 14:358 Schaums and Axiom differ by a constant complexNormalize % --R --R 2 --R (10) -- --R 3a --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.359~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{(1+\sin{ax})^2}}$} $$\int{\frac{1}{(1+\sin{ax})^2}}= -\frac{1}{2a}\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{ax}{2}\right) -\frac{1}{6a}\tan^3\left(\frac{\pi}{4}-\frac{ax}{2}\right) $$ <<*>>= )clear all --S 73 aa:=integrate(1/(1+sin(a*x))^2,x) --R --R 2 --R (- 3cos(a x) - 3)sin(a x) + cos(a x) - 4cos(a x) - 5 --R (1) ------------------------------------------------------------ --R 2 --R (3a cos(a x) + 6a)sin(a x) - 3a cos(a x) + 3a cos(a x) + 6a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 74 bb:=-1/(2*a)*tan(%pi/4-(a*x)/2)-1/(6*a)*tan(%pi/4-(a*x)/2)^3 --R --R 2a x - %pi 3 2a x - %pi --R tan(----------) + 3tan(----------) --R 4 4 --R (2) ----------------------------------- --R 6a --R Type: Expression Integer --E --S 75 cc:=aa-bb --R --R (3) --R 2 2a x - %pi 3 --R ((- cos(a x) - 2)sin(a x) + cos(a x) - cos(a x) - 2)tan(----------) --R 4 --R + --R 2 2a x - %pi --R ((- 3cos(a x) - 6)sin(a x) + 3cos(a x) - 3cos(a x) - 6)tan(----------) --R 4 --R + --R 2 --R (- 6cos(a x) - 6)sin(a x) + 2cos(a x) - 8cos(a x) - 10 --R / --R 2 --R (6a cos(a x) + 12a)sin(a x) - 6a cos(a x) + 6a cos(a x) + 12a --R Type: Expression Integer --E --S 76 tanrule:=rule(tan(a) == sin(a)/cos(a)) --R --R sin(a) --R (4) tan(a) == ------ --R cos(a) --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 77 dd:=tanrule cc --R --R (5) --R 2a x - %pi 3 --R (- cos(a x) - 2)sin(----------) --R 4 --R + --R 2a x - %pi 2 2a x - %pi 2 2a x - %pi --R (- 3cos(----------) cos(a x) - 6cos(----------) )sin(----------) --R 4 4 4 --R + --R 2a x - %pi 3 2a x - %pi 3 --R - 6cos(----------) cos(a x) - 6cos(----------) --R 4 4 --R * --R sin(a x) --R + --R 2 2a x - %pi 3 --R (cos(a x) - cos(a x) - 2)sin(----------) --R 4 --R + --R 2a x - %pi 2 2 2a x - %pi 2 --R 3cos(----------) cos(a x) - 3cos(----------) cos(a x) --R 4 4 --R + --R 2a x - %pi 2 --R - 6cos(----------) --R 4 --R * --R 2a x - %pi --R sin(----------) --R 4 --R + --R 2a x - %pi 3 2 2a x - %pi 3 2a x - %pi 3 --R 2cos(----------) cos(a x) - 8cos(----------) cos(a x) - 10cos(----------) --R 4 4 4 --R / --R 2a x - %pi 3 2a x - %pi 3 --R (6a cos(----------) cos(a x) + 12a cos(----------) )sin(a x) --R 4 4 --R + --R 2a x - %pi 3 2 2a x - %pi 3 --R - 6a cos(----------) cos(a x) + 6a cos(----------) cos(a x) --R 4 4 --R + --R 2a x - %pi 3 --R 12a cos(----------) --R 4 --R Type: Expression Integer --E --S 78 sindiffrule2:=rule(sin((a-b)/4) == sin(a/4)*cos(b/4)-cos(a/4)*sin(b/4)) --R --R --I b - a a b b a --I (6) - %U sin(-----) == - %U cos(-)sin(-) + %U cos(-)sin(-) --I 4 4 4 4 4 --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 79 ee:=sindiffrule2 dd --R --R (7) --R +-+ 2a x - %pi 2 +-+ 2a x - %pi 2 a x --R (- 3\|2 cos(----------) cos(a x) - 6\|2 cos(----------) )sin(---) --R 4 4 2 --R + --R 2a x - %pi 3 --R (- 2cos(a x) - 4)sin(----------) --R 4 --R + --R +-+ 2a x - %pi 2 a x 2a x - %pi 3 --R (3\|2 cos(----------) cos(---) - 12cos(----------) )cos(a x) --R 4 2 4 --R + --R +-+ 2a x - %pi 2 a x 2a x - %pi 3 --R 6\|2 cos(----------) cos(---) - 12cos(----------) --R 4 2 4 --R * --R sin(a x) --R + --R +-+ 2a x - %pi 2 +-+ 2a x - %pi 2 a x --R (- 3\|2 cos(----------) cos(a x) - 6\|2 cos(----------) )sin(---) --R 4 4 2 --R + --R 2 2a x - %pi 3 --R (2cos(a x) - 2cos(a x) - 4)sin(----------) --R 4 --R + --R 2a x - %pi 2 2 2a x - %pi 2a x - %pi 3 2 --R 6cos(----------) cos(a x) sin(----------) + 4cos(----------) cos(a x) --R 4 4 4 --R + --R +-+ 2a x - %pi 2 a x 2a x - %pi 3 --R (3\|2 cos(----------) cos(---) - 16cos(----------) )cos(a x) --R 4 2 4 --R + --R +-+ 2a x - %pi 2 a x 2a x - %pi 3 --R 6\|2 cos(----------) cos(---) - 20cos(----------) --R 4 2 4 --R / --R 2a x - %pi 3 2a x - %pi 3 --R (12a cos(----------) cos(a x) + 24a cos(----------) )sin(a x) --R 4 4 --R + --R 2a x - %pi 3 2 2a x - %pi 3 --R - 12a cos(----------) cos(a x) + 12a cos(----------) cos(a x) --R 4 4 --R + --R 2a x - %pi 3 --R 24a cos(----------) --R 4 --R Type: Expression Integer --E --S 80 sincuberule:=rule(sin(a)^3 == 3/4*sin(a)-1/4*sin(3*a)) --R --R 3 - sin(3a) + 3sin(a) --R (8) sin(a) == ------------------- --R 4 --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 81 ff:=sincuberule ee --R --R (9) --R 2 6a x - 3%pi --R ((cos(a x) + 2)sin(a x) - cos(a x) + cos(a x) + 2)sin(-----------) --R 4 --R + --R +-+ 2a x - %pi 2 +-+ 2a x - %pi 2 a x --R (- 6\|2 cos(----------) cos(a x) - 12\|2 cos(----------) )sin(---) --R 4 4 2 --R + --R 2a x - %pi --R (- 3cos(a x) - 6)sin(----------) --R 4 --R + --R +-+ 2a x - %pi 2 a x 2a x - %pi 3 --R (6\|2 cos(----------) cos(---) - 24cos(----------) )cos(a x) --R 4 2 4 --R + --R +-+ 2a x - %pi 2 a x 2a x - %pi 3 --R 12\|2 cos(----------) cos(---) - 24cos(----------) --R 4 2 4 --R * --R sin(a x) --R + --R +-+ 2a x - %pi 2 +-+ 2a x - %pi 2 a x --R (- 6\|2 cos(----------) cos(a x) - 12\|2 cos(----------) )sin(---) --R 4 4 2 --R + --R 2a x - %pi 2 2 2a x - %pi --R ((12cos(----------) + 3)cos(a x) - 3cos(a x) - 6)sin(----------) --R 4 4 --R + --R 2a x - %pi 3 2 --R 8cos(----------) cos(a x) --R 4 --R + --R +-+ 2a x - %pi 2 a x 2a x - %pi 3 --R (6\|2 cos(----------) cos(---) - 32cos(----------) )cos(a x) --R 4 2 4 --R + --R +-+ 2a x - %pi 2 a x 2a x - %pi 3 --R 12\|2 cos(----------) cos(---) - 40cos(----------) --R 4 2 4 --R / --R 2a x - %pi 3 2a x - %pi 3 --R (24a cos(----------) cos(a x) + 48a cos(----------) )sin(a x) --R 4 4 --R + --R 2a x - %pi 3 2 2a x - %pi 3 --R - 24a cos(----------) cos(a x) + 24a cos(----------) cos(a x) --R 4 4 --R + --R 2a x - %pi 3 --R 48a cos(----------) --R 4 --R Type: Expression Integer --E --S 82 14:359 Schaums and Axiom differ by a constant complexNormalize % --R --R 2 --R (10) - -- --R 3a --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.360~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{p+q\sin{ax}}}$} $$\int{\frac{1}{p+q\sin{ax}}}= \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \frac{2}{a\sqrt{p^2-q^q}} \tan^{-1}\frac{p\tan{\frac{1}{2}ax}+q}{\sqrt{p^2-q^2}}\\ \\ \displaystyle \frac{1}{a\sqrt{q^2-p^2}}\ln\left(\frac{p\tan{\frac{1}{2}ax}+q-\sqrt{q^2-p^2}} {p\tan{\frac{1}{2}ax}+q+\sqrt{q^2-p^2}}\right) \end{array} \right. $$ <<*>>= )clear all --S 83 aa:=integrate(1/(p+q*sin(a*x)),x) --R --R (1) --R [ --R log --R +-------+ --R 2 2 2 | 2 2 --R (p q sin(a x) + (q - p )cos(a x) + q )\|q - p --R + --R 2 3 3 2 3 2 --R (- p q + p )sin(a x) + (- q + p q)cos(a x) - q + p q --R / --R q sin(a x) + p --R / --R +-------+ --R | 2 2 --R a\|q - p --R , --R +---------+ --R | 2 2 --R (p sin(a x) + q cos(a x) + q)\|- q + p --R 2atan(-----------------------------------------) --R 2 2 2 2 --R (q - p )cos(a x) + q - p --R - ------------------------------------------------] --R +---------+ --R | 2 2 --R a\|- q + p --R Type: Union(List Expression Integer,...) --E --S 84 bb1:=2/(a*sqrt(p^2-q^2))*atan((p*tan(a*x/2)+q)/sqrt(p^2-q^2)) --R --R a x --R p tan(---) + q --R 2 --R 2atan(--------------) --R +---------+ --R | 2 2 --R \|- q + p --R (2) --------------------- --R +---------+ --R | 2 2 --R a\|- q + p --R Type: Expression Integer --E --S 85 bb2:=1/(a*sqrt(q^2-p^2))*log((p*tan((a*x)/2)+q-sqrt(q^2-p^2))/(p*tan((a*x)/2)+q+sqrt(q^2-p^2))) --R --R +-------+ --R | 2 2 a x --R - \|q - p + p tan(---) + q --R 2 --R log(-----------------------------) --R +-------+ --R | 2 2 a x --R \|q - p + p tan(---) + q --R 2 --R (3) ---------------------------------- --R +-------+ --R | 2 2 --R a\|q - p --R Type: Expression Integer --E --S 86 cc1:=aa.1-bb1 --R --R (4) --R +---------+ --R | 2 2 --R \|- q + p --R * --R log --R +-------+ --R 2 2 2 | 2 2 --R (p q sin(a x) + (q - p )cos(a x) + q )\|q - p --R + --R 2 3 3 2 3 2 --R (- p q + p )sin(a x) + (- q + p q)cos(a x) - q + p q --R / --R q sin(a x) + p --R + --R a x --R +-------+ p tan(---) + q --R | 2 2 2 --R - 2\|q - p atan(--------------) --R +---------+ --R | 2 2 --R \|- q + p --R / --R +---------+ +-------+ --R | 2 2 | 2 2 --R a\|- q + p \|q - p --R Type: Expression Integer --E --S 87 cc2:=aa.2-bb1 --R --R (5) --R +---------+ a x --R | 2 2 p tan(---) + q --R (p sin(a x) + q cos(a x) + q)\|- q + p 2 --R - 2atan(-----------------------------------------) - 2atan(--------------) --R 2 2 2 2 +---------+ --R (q - p )cos(a x) + q - p | 2 2 --R \|- q + p --R -------------------------------------------------------------------------- --R +---------+ --R | 2 2 --R a\|- q + p --R Type: Expression Integer --E --S 88 cc3:=aa.1-bb2 --R --R (6) --R log --R +-------+ --R 2 2 2 | 2 2 --R (p q sin(a x) + (q - p )cos(a x) + q )\|q - p --R + --R 2 3 3 2 3 2 --R (- p q + p )sin(a x) + (- q + p q)cos(a x) - q + p q --R / --R q sin(a x) + p --R + --R +-------+ --R | 2 2 a x --R - \|q - p + p tan(---) + q --R 2 --R - log(-----------------------------) --R +-------+ --R | 2 2 a x --R \|q - p + p tan(---) + q --R 2 --R / --R +-------+ --R | 2 2 --R a\|q - p --R Type: Expression Integer --E --S 89 cc4:=aa.2-bb2 --R --R (7) --R +-------+ --R | 2 2 a x --R +---------+ - \|q - p + p tan(---) + q --R | 2 2 2 --R - \|- q + p log(-----------------------------) --R +-------+ --R | 2 2 a x --R \|q - p + p tan(---) + q --R 2 --R + --R +---------+ --R +-------+ | 2 2 --R | 2 2 (p sin(a x) + q cos(a x) + q)\|- q + p --R - 2\|q - p atan(-----------------------------------------) --R 2 2 2 2 --R (q - p )cos(a x) + q - p --R / --R +---------+ +-------+ --R | 2 2 | 2 2 --R a\|- q + p \|q - p --R Type: Expression Integer --E --S 90 dd2:=ratDenom cc2 --R --R (8) --R +---------+ --R a x | 2 2 --R +---------+ (p tan(---) + q)\|- q + p --R | 2 2 2 --R - 2\|- q + p atan(----------------------------) --R 2 2 --R q - p --R + --R +---------+ --R +---------+ | 2 2 --R | 2 2 (p sin(a x) + q cos(a x) + q)\|- q + p --R 2\|- q + p atan(-----------------------------------------) --R 2 2 2 2 --R (q - p )cos(a x) + q - p --R / --R 2 2 --R a q - a p --R Type: Expression Integer --E --S 91 atanrule2:=rule(atan(x) == 1/2*%i*(log(1-%i*x)-log(1+%i*x))) --R --R 1 1 --R (9) atan(x) == - - %i log(%i x + 1) + - %i log(- %i x + 1) --R 2 2 --RType: RewriteRule(Integer,Complex Fraction Integer,Expression Complex Fraction Integer) --E --S 92 ee2:=atanrule2 dd2 --R --R (10) --R +---------+ --R 1 | 2 2 2 2 --R +---------+ (%i p tan(- a x) + %i q)\|- q + p + q - p --R | 2 2 2 --R %i\|- q + p log(----------------------------------------------) --R 2 2 --R q - p --R + --R - --R +---------+ --R | 2 2 --R %i\|- q + p --R * --R log --R +---------+ --R | 2 2 --R (%i p sin(a x) + %i q cos(a x) + %i q)\|- q + p --R + --R 2 2 2 2 --R (q - p )cos(a x) + q - p --R / --R 2 2 2 2 --R (q - p )cos(a x) + q - p --R + --R +---------+ --R | 2 2 --R %i\|- q + p --R * --R log --R +---------+ --R | 2 2 --R (- %i p sin(a x) - %i q cos(a x) - %i q)\|- q + p --R + --R 2 2 2 2 --R (q - p )cos(a x) + q - p --R / --R 2 2 2 2 --R (q - p )cos(a x) + q - p --R + --R +---------+ --R 1 | 2 2 2 2 --R +---------+ (- %i p tan(- a x) - %i q)\|- q + p + q - p --R | 2 2 2 --R - %i\|- q + p log(------------------------------------------------) --R 2 2 --R q - p --R / --R 2 2 --R a q - a p --R Type: Expression Complex Fraction Integer --E --S 93 ff2:=expandLog ee2 --R --R (11) --R +---------+ +---------+ --R | 2 2 1 | 2 2 2 2 --R - %i\|- q + p log((p tan(- a x) + q)\|- q + p + %i q - %i p ) --R 2 --R + --R +---------+ +---------+ --R | 2 2 1 | 2 2 2 2 --R %i\|- q + p log((p tan(- a x) + q)\|- q + p - %i q + %i p ) --R 2 --R + --R +---------+ --R | 2 2 --R %i\|- q + p --R * --R log --R +---------+ --R | 2 2 --R (p sin(a x) + q cos(a x) + q)\|- q + p --R + --R 2 2 2 2 --R (%i q - %i p )cos(a x) + %i q - %i p --R + --R - --R +---------+ --R | 2 2 --R %i\|- q + p --R * --R log --R +---------+ --R | 2 2 --R (p sin(a x) + q cos(a x) + q)\|- q + p --R + --R 2 2 2 2 --R (- %i q + %i p )cos(a x) - %i q + %i p --R / --R 2 2 --R a q - a p --R Type: Expression Complex Fraction Integer --E --S 94 gg2:=numer(ff2)/denom(ff2) --R --R (12) --R +---------+ +---------+ --R | 2 2 1 | 2 2 2 2 --R - %i\|- q + p log((p tan(- a x) + q)\|- q + p + %i q - %i p ) --R 2 --R + --R +---------+ +---------+ --R | 2 2 1 | 2 2 2 2 --R %i\|- q + p log((p tan(- a x) + q)\|- q + p - %i q + %i p ) --R 2 --R + --R +---------+ --R | 2 2 --R %i\|- q + p --R * --R log --R +---------+ --R | 2 2 --R (p sin(a x) + q cos(a x) + q)\|- q + p --R + --R 2 2 2 2 --R (%i q - %i p )cos(a x) + %i q - %i p --R + --R - --R +---------+ --R | 2 2 --R %i\|- q + p --R * --R log --R +---------+ --R | 2 2 --R (p sin(a x) + q cos(a x) + q)\|- q + p --R + --R 2 2 2 2 --R (- %i q + %i p )cos(a x) - %i q + %i p --R / --R 2 2 --R a q - a p --RType: Fraction SparseMultivariatePolynomial(Complex Fraction Integer,Kernel Expression Complex Fraction Integer) --E --S 95 hh2:=gg2::Expression Complex Fraction Integer --R --R (13) --R +---------+ +---------+ --R | 2 2 1 | 2 2 2 2 --R - %i\|- q + p log((p tan(- a x) + q)\|- q + p + %i q - %i p ) --R 2 --R + --R +---------+ +---------+ --R | 2 2 1 | 2 2 2 2 --R %i\|- q + p log((p tan(- a x) + q)\|- q + p - %i q + %i p ) --R 2 --R + --R +---------+ --R | 2 2 --R %i\|- q + p --R * --R log --R +---------+ --R | 2 2 --R (p sin(a x) + q cos(a x) + q)\|- q + p --R + --R 2 2 2 2 --R (%i q - %i p )cos(a x) + %i q - %i p --R + --R - --R +---------+ --R | 2 2 --R %i\|- q + p --R * --R log --R +---------+ --R | 2 2 --R (p sin(a x) + q cos(a x) + q)\|- q + p --R + --R 2 2 2 2 --R (- %i q + %i p )cos(a x) - %i q + %i p --R / --R 2 2 --R a q - a p --R Type: Expression Complex Fraction Integer --E --S 96 14:360 Schaums and Axiom agree complexNormalize hh2 --R --R (14) 0 --R Type: Expression Complex Fraction Integer --E @ \section{\cite{1}:14.361~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{(p+q\sin{ax})^2}}$} $$\int{\frac{1}{(p+q\sin{ax})^2}}= \frac{q\cos{ax}}{a(p^2-q^2)(p+q\sin{ax})} +\frac{p}{p^2-q^2}\int{\frac{1}{p+q\sin{ax}}} $$ <<*>>= )clear all --S 97 aa:=integrate(1/(p+q*sin(a*x))^2,x) --R --R --R (1) --R [ --R 2 3 --R (p q sin(a x) + p ) --R * --R log --R +-------+ --R 2 2 2 | 2 2 --R (p q sin(a x) + (q - p )cos(a x) + q )\|q - p --R + --R 2 3 3 2 3 2 --R (p q - p )sin(a x) + (q - p q)cos(a x) + q - p q --R / --R q sin(a x) + p --R + --R +-------+ --R 2 | 2 2 --R (- q sin(a x) - p q cos(a x) - p q)\|q - p --R / --R +-------+ --R 3 3 2 2 4 | 2 2 --R ((a p q - a p q)sin(a x) + a p q - a p )\|q - p --R , --R --R +---------+ --R | 2 2 --R 2 3 (p sin(a x) + q cos(a x) + q)\|- q + p --R (2p q sin(a x) + 2p )atan(-----------------------------------------) --R 2 2 2 2 --R (q - p )cos(a x) + q - p --R + --R +---------+ --R 2 | 2 2 --R (- q sin(a x) - p q cos(a x) - p q)\|- q + p --R / --R +---------+ --R 3 3 2 2 4 | 2 2 --R ((a p q - a p q)sin(a x) + a p q - a p )\|- q + p --R ] --R Type: Union(List Expression Integer,...) --E --S 98 t1:=integrate(1/(p+q*sin(a*x)),x) --R --R (2) --R [ --R log --R +-------+ --R 2 2 2 | 2 2 --R (p q sin(a x) + (q - p )cos(a x) + q )\|q - p --R + --R 2 3 3 2 3 2 --R (- p q + p )sin(a x) + (- q + p q)cos(a x) - q + p q --R / --R q sin(a x) + p --R / --R +-------+ --R | 2 2 --R a\|q - p --R , --R +---------+ --R | 2 2 --R (p sin(a x) + q cos(a x) + q)\|- q + p --R 2atan(-----------------------------------------) --R 2 2 2 2 --R (q - p )cos(a x) + q - p --R - ------------------------------------------------] --R +---------+ --R | 2 2 --R a\|- q + p --R Type: Union(List Expression Integer,...) --E --S 99 bb1:=(q*cos(a*x))/(a*(p^2-q^2)*(p+q*sin(a*x)))+p/(p^2-q^2)*t1.1 --R --R (3) --R 2 --R (- p q sin(a x) - p ) --R * --R log --R +-------+ --R 2 2 2 | 2 2 --R (p q sin(a x) + (q - p )cos(a x) + q )\|q - p --R + --R 2 3 3 2 3 2 --R (- p q + p )sin(a x) + (- q + p q)cos(a x) - q + p q --R / --R q sin(a x) + p --R + --R +-------+ --R | 2 2 --R - q cos(a x)\|q - p --R / --R +-------+ --R 3 2 2 3 | 2 2 --R ((a q - a p q)sin(a x) + a p q - a p )\|q - p --R Type: Expression Integer --E --S 100 bb2:=(q*cos(a*x))/(a*(p^2-q^2)*(p+q*sin(a*x)))+p/(p^2-q^2)*t1.2 --R --R (4) --R +---------+ --R | 2 2 --R 2 (p sin(a x) + q cos(a x) + q)\|- q + p --R (2p q sin(a x) + 2p )atan(-----------------------------------------) --R 2 2 2 2 --R (q - p )cos(a x) + q - p --R + --R +---------+ --R | 2 2 --R - q cos(a x)\|- q + p --R / --R +---------+ --R 3 2 2 3 | 2 2 --R ((a q - a p q)sin(a x) + a p q - a p )\|- q + p --R Type: Expression Integer --E --S 101 cc1:=aa.1-bb1 --R --R (5) --R 2 --R p --R * --R log --R +-------+ --R 2 2 2 | 2 2 --R (p q sin(a x) + (q - p )cos(a x) + q )\|q - p --R + --R 2 3 3 2 3 2 --R (p q - p )sin(a x) + (q - p q)cos(a x) + q - p q --R / --R q sin(a x) + p --R + --R 2 --R p --R * --R log --R +-------+ --R 2 2 2 | 2 2 --R (p q sin(a x) + (q - p )cos(a x) + q )\|q - p --R + --R 2 3 3 2 3 2 --R (- p q + p )sin(a x) + (- q + p q)cos(a x) - q + p q --R / --R q sin(a x) + p --R + --R +-------+ --R | 2 2 --R - q\|q - p --R / --R +-------+ --R 2 3 | 2 2 --R (a p q - a p )\|q - p --R Type: Expression Integer --E --S 102 cc2:=aa.2-bb1 --R --R (6) --R +---------+ --R 2 | 2 2 --R p \|- q + p --R * --R log --R +-------+ --R 2 2 2 | 2 2 --R (p q sin(a x) + (q - p )cos(a x) + q )\|q - p --R + --R 2 3 3 2 3 2 --R (- p q + p )sin(a x) + (- q + p q)cos(a x) - q + p q --R / --R q sin(a x) + p --R + --R +---------+ --R +-------+ | 2 2 --R 2 | 2 2 (p sin(a x) + q cos(a x) + q)\|- q + p --R 2p \|q - p atan(-----------------------------------------) --R 2 2 2 2 --R (q - p )cos(a x) + q - p --R + --R +---------+ +-------+ --R | 2 2 | 2 2 --R - q\|- q + p \|q - p --R / --R +---------+ +-------+ --R 2 3 | 2 2 | 2 2 --R (a p q - a p )\|- q + p \|q - p --R Type: Expression Integer --E --S 103 cc3:=aa.1-bb2 --R --R (7) --R +---------+ --R 2 | 2 2 --R p \|- q + p --R * --R log --R +-------+ --R 2 2 2 | 2 2 --R (p q sin(a x) + (q - p )cos(a x) + q )\|q - p --R + --R 2 3 3 2 3 2 --R (p q - p )sin(a x) + (q - p q)cos(a x) + q - p q --R / --R q sin(a x) + p --R + --R +---------+ --R +-------+ | 2 2 --R 2 | 2 2 (p sin(a x) + q cos(a x) + q)\|- q + p --R - 2p \|q - p atan(-----------------------------------------) --R 2 2 2 2 --R (q - p )cos(a x) + q - p --R + --R +---------+ +-------+ --R | 2 2 | 2 2 --R - q\|- q + p \|q - p --R / --R +---------+ +-------+ --R 2 3 | 2 2 | 2 2 --R (a p q - a p )\|- q + p \|q - p --R Type: Expression Integer --E --S 104 14:361 Schaums and Axiom differ by a constant cc4:=aa.2-bb2 --R --R q --R (8) - ------------- --R 2 3 --R a p q - a p --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.362~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{p^2+q^2\sin^2{ax}}}$} $$\int{\frac{1}{p^2+q^2\sin^2{ax}}}= \frac{1}{ap\sqrt{p^2+q^2}}\tan^{-1}\frac{\sqrt{p^2+q^2}\tan{ax}}{p} $$ <<*>>= )clear all --S 105 aa:=integrate(1/(p^2+q^2*sin(a*x)^2),x) --R --R (1) --R +-------+ --R | 2 2 --R p sin(a x)\|q + p --R atan(-------------------------------) --R 2 2 2 2 --R (2q + 2p )cos(a x) + 2q + 2p --R + --R 2 2 2 2 --R ((2q + p )cos(a x) + 2q + 2p )sin(a x) --R atan(-----------------------------------------) --R +-------+ --R 2 | 2 2 --R (p cos(a x) + 2p cos(a x) + p)\|q + p --R / --R +-------+ --R | 2 2 --R a p\|q + p --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 106 bb:=1/(a*p*sqrt(p^2+q^2))*atan((sqrt(p^2+q^2)*tan(a*x))/p) --R --R +-------+ --R | 2 2 --R tan(a x)\|q + p --R atan(------------------) --R p --R (2) ------------------------ --R +-------+ --R | 2 2 --R a p\|q + p --R Type: Expression Integer --E --S 107 cc:=aa-bb --R --R (3) --R +-------+ +-------+ --R | 2 2 | 2 2 --R tan(a x)\|q + p p sin(a x)\|q + p --R - atan(------------------) + atan(-------------------------------) --R p 2 2 2 2 --R (2q + 2p )cos(a x) + 2q + 2p --R + --R 2 2 2 2 --R ((2q + p )cos(a x) + 2q + 2p )sin(a x) --R atan(-----------------------------------------) --R +-------+ --R 2 | 2 2 --R (p cos(a x) + 2p cos(a x) + p)\|q + p --R / --R +-------+ --R | 2 2 --R a p\|q + p --R Type: Expression Integer --E --S 108 dd:=ratDenom cc --R --R (4) --R +-------+ --R +-------+ | 2 2 --R | 2 2 tan(a x)\|q + p --R - \|q + p atan(------------------) --R p --R + --R +-------+ --R +-------+ 2 2 2 2 | 2 2 --R | 2 2 ((2q + p )cos(a x) + 2q + 2p )sin(a x)\|q + p --R \|q + p atan(--------------------------------------------------------) --R 2 3 2 2 3 2 3 --R (p q + p )cos(a x) + (2p q + 2p )cos(a x) + p q + p --R + --R +-------+ --R +-------+ | 2 2 --R | 2 2 p sin(a x)\|q + p --R \|q + p atan(-------------------------------) --R 2 2 2 2 --R (2q + 2p )cos(a x) + 2q + 2p --R / --R 2 3 --R a p q + a p --R Type: Expression Integer --E --S 109 atanrule:=rule(atan(x) == -%i/2*log((1+%i*x)/(1-%i*x))) --R --R - x + %i --R %i log(--------) --R x + %i --R (5) atan(x) == - ---------------- --R 2 --R Type: RewriteRule(Integer,Complex Integer,Expression Complex Integer) --E --S 110 ee:=atanrule dd --R --R (6) --R - --R +-------+ --R | 2 2 --R %i\|q + p --R * --R log --R +-------+ --R | 2 2 2 2 2 --R - p sin(a x)\|q + p + (2%i q + 2%i p )cos(a x) + 2%i q --R + --R 2 --R 2%i p --R / --R +-------+ --R | 2 2 2 2 2 --R p sin(a x)\|q + p + (2%i q + 2%i p )cos(a x) + 2%i q --R + --R 2 --R 2%i p --R + --R - --R +-------+ --R | 2 2 --R %i\|q + p --R * --R log --R +-------+ --R 2 2 2 2 | 2 2 --R ((- 2q - p )cos(a x) - 2q - 2p )sin(a x)\|q + p --R + --R 2 3 2 2 3 --R (%i p q + %i p )cos(a x) + (2%i p q + 2%i p )cos(a x) --R + --R 2 3 --R %i p q + %i p --R / --R +-------+ --R 2 2 2 2 | 2 2 --R ((2q + p )cos(a x) + 2q + 2p )sin(a x)\|q + p --R + --R 2 3 2 2 3 --R (%i p q + %i p )cos(a x) + (2%i p q + 2%i p )cos(a x) --R + --R 2 3 --R %i p q + %i p --R + --R +-------+ --R +-------+ | 2 2 --R | 2 2 - tan(a x)\|q + p + %i p --R %i\|q + p log(---------------------------) --R +-------+ --R | 2 2 --R tan(a x)\|q + p + %i p --R / --R 2 3 --R 2a p q + 2a p --R Type: Expression Complex Integer --E --S 111 ff:=expandLog ee --R --R (7) --R +-------+ +-------+ --R | 2 2 | 2 2 --R - %i\|q + p log(tan(a x)\|q + p + %i p) --R + --R +-------+ +-------+ --R | 2 2 | 2 2 --R %i\|q + p log(tan(a x)\|q + p - %i p) --R + --R +-------+ --R | 2 2 --R %i\|q + p --R * --R log --R +-------+ --R 2 2 2 2 | 2 2 --R ((2q + p )cos(a x) + 2q + 2p )sin(a x)\|q + p --R + --R 2 3 2 2 3 2 --R (%i p q + %i p )cos(a x) + (2%i p q + 2%i p )cos(a x) + %i p q --R + --R 3 --R %i p --R + --R - --R +-------+ --R | 2 2 --R %i\|q + p --R * --R log --R +-------+ --R 2 2 2 2 | 2 2 --R ((2q + p )cos(a x) + 2q + 2p )sin(a x)\|q + p --R + --R 2 3 2 2 3 --R (- %i p q - %i p )cos(a x) + (- 2%i p q - 2%i p )cos(a x) --R + --R 2 3 --R - %i p q - %i p --R + --R +-------+ --R | 2 2 --R %i\|q + p --R * --R +-------+ --R | 2 2 2 2 2 2 --R log(p sin(a x)\|q + p + (2%i q + 2%i p )cos(a x) + 2%i q + 2%i p ) --R + --R - --R +-------+ --R | 2 2 --R %i\|q + p --R * --R log --R +-------+ --R | 2 2 2 2 2 --R p sin(a x)\|q + p + (- 2%i q - 2%i p )cos(a x) - 2%i q --R + --R 2 --R - 2%i p --R + --R +-------+ --R | 2 2 --R - %i log(- 1)\|q + p --R / --R 2 3 --R 2a p q + 2a p --R Type: Expression Complex Integer --E --S 112 tanrule2:RewriteRule(INT,COMPLEX(INT),EXPR(COMPLEX(INT))):=rule(tan(a) == sin(a)/cos(a)) --R --R sin(a) --R (8) tan(a) == ------ --R cos(a) --R Type: RewriteRule(Integer,Complex Integer,Expression Complex Integer) --E --S 113 gg:=tanrule2 ff --R --R (9) --R +-------+ --R | 2 2 --R %i\|q + p --R * --R log --R +-------+ --R 2 2 2 2 | 2 2 --R ((2q + p )cos(a x) + 2q + 2p )sin(a x)\|q + p --R + --R 2 3 2 2 3 2 --R (%i p q + %i p )cos(a x) + (2%i p q + 2%i p )cos(a x) + %i p q --R + --R 3 --R %i p --R + --R - --R +-------+ --R | 2 2 --R %i\|q + p --R * --R log --R +-------+ --R 2 2 2 2 | 2 2 --R ((2q + p )cos(a x) + 2q + 2p )sin(a x)\|q + p --R + --R 2 3 2 2 3 --R (- %i p q - %i p )cos(a x) + (- 2%i p q - 2%i p )cos(a x) --R + --R 2 3 --R - %i p q - %i p --R + --R +-------+ --R | 2 2 --R %i\|q + p --R * --R +-------+ --R | 2 2 2 2 2 2 --R log(p sin(a x)\|q + p + (2%i q + 2%i p )cos(a x) + 2%i q + 2%i p ) --R + --R - --R +-------+ --R | 2 2 --R %i\|q + p --R * --R log --R +-------+ --R | 2 2 2 2 2 --R p sin(a x)\|q + p + (- 2%i q - 2%i p )cos(a x) - 2%i q --R + --R 2 --R - 2%i p --R + --R +-------+ --R +-------+ | 2 2 --R | 2 2 sin(a x)\|q + p + %i p cos(a x) --R - %i\|q + p log(----------------------------------) --R cos(a x) --R + --R +-------+ --R +-------+ | 2 2 +-------+ --R | 2 2 sin(a x)\|q + p - %i p cos(a x) | 2 2 --R %i\|q + p log(----------------------------------) - %i log(- 1)\|q + p --R cos(a x) --R / --R 2 3 --R 2a p q + 2a p --R Type: Expression Complex Integer --E --S 114 hh:=expandLog gg --R --R (10) --R +-------+ --R | 2 2 --R %i\|q + p --R * --R log --R +-------+ --R 2 2 2 2 | 2 2 --R ((2q + p )cos(a x) + 2q + 2p )sin(a x)\|q + p --R + --R 2 3 2 2 3 2 --R (%i p q + %i p )cos(a x) + (2%i p q + 2%i p )cos(a x) + %i p q --R + --R 3 --R %i p --R + --R - --R +-------+ --R | 2 2 --R %i\|q + p --R * --R log --R +-------+ --R 2 2 2 2 | 2 2 --R ((2q + p )cos(a x) + 2q + 2p )sin(a x)\|q + p --R + --R 2 3 2 2 3 --R (- %i p q - %i p )cos(a x) + (- 2%i p q - 2%i p )cos(a x) --R + --R 2 3 --R - %i p q - %i p --R + --R +-------+ --R | 2 2 --R %i\|q + p --R * --R +-------+ --R | 2 2 2 2 2 2 --R log(p sin(a x)\|q + p + (2%i q + 2%i p )cos(a x) + 2%i q + 2%i p ) --R + --R - --R +-------+ --R | 2 2 --R %i\|q + p --R * --R log --R +-------+ --R | 2 2 2 2 2 --R p sin(a x)\|q + p + (- 2%i q - 2%i p )cos(a x) - 2%i q --R + --R 2 --R - 2%i p --R + --R +-------+ +-------+ --R | 2 2 | 2 2 --R - %i\|q + p log(sin(a x)\|q + p + %i p cos(a x)) --R + --R +-------+ +-------+ +-------+ --R | 2 2 | 2 2 | 2 2 --R %i\|q + p log(sin(a x)\|q + p - %i p cos(a x)) - %i log(- 1)\|q + p --R / --R 2 3 --R 2a p q + 2a p --R Type: Expression Complex Integer --E --S 115 14:362 Schaums and Axiom differ by a constant ii:=complexNormalize hh --R --R +-------+ --R | 2 2 --R (%i log(%i) - %i log(- %i) - %i log(- 1))\|q + p --R (11) --------------------------------------------------- --R 2 3 --R 2a p q + 2a p --R Type: Expression Complex Integer --E @ \section{\cite{1}:14.363~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{p^2-q^2\sin^2{ax}}}$} $$\int{\frac{1}{p^2-q^2\sin^2{ax}}}= \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \frac{1}{ap\sqrt{p^2-q^2}}\tan^{-1}\frac{\sqrt{p^2-q^2}\tan{ax}}{p}\\ \\ \displaystyle \frac{1}{2ap\sqrt{q^2-p^2}}\ln\left(\frac{\sqrt{q^2-p^2}\tan{ax}+p} {\sqrt{q^2-p^2}\tan{ax}-p}\right) \end{array} \right. $$ <<*>>= )clear all --S 116 aa:=integrate(1/(p^2-q^2*sin(a*x)^2),x) --R --R (1) --R [ --R log --R +-------+ --R 2 2 2 2 2 | 2 2 --R ((- q + 2p )cos(a x) + q - p )\|q - p --R + --R 2 3 --R (2p q - 2p )cos(a x)sin(a x) --R / --R 2 2 2 2 --R q cos(a x) - q + p --R / --R +-------+ --R | 2 2 --R 2a p\|q - p --R , --R --R +---------+ --R | 2 2 --R p sin(a x)\|- q + p --R - atan(-------------------------------) --R 2 2 2 2 --R (2q - 2p )cos(a x) + 2q - 2p --R + --R 2 2 2 2 --R ((2q - p )cos(a x) + 2q - 2p )sin(a x) --R - atan(-------------------------------------------) --R +---------+ --R 2 | 2 2 --R (p cos(a x) + 2p cos(a x) + p)\|- q + p --R / --R +---------+ --R | 2 2 --R a p\|- q + p --R ] --R Type: Union(List Expression Integer,...) --E --S 117 bb1:=1/(a*p*sqrt(p^2-q^2))*atan((sqrt(p^2-q^2)*tan(a*x))/p) --R --R +---------+ --R | 2 2 --R tan(a x)\|- q + p --R atan(--------------------) --R p --R (2) -------------------------- --R +---------+ --R | 2 2 --R a p\|- q + p --R Type: Expression Integer --E --S 118 bb2:=1/(2*a*p*sqrt(q^2-p^2))*log((sqrt(q^2-p^2)*tan(a*x)+p)/(sqrt(q^2-p^2)*tan(a*x)-p)) --R --R +-------+ --R | 2 2 --R tan(a x)\|q - p + p --R log(----------------------) --R +-------+ --R | 2 2 --R tan(a x)\|q - p - p --R (3) --------------------------- --R +-------+ --R | 2 2 --R 2a p\|q - p --R Type: Expression Integer --E --S 119 cc1:=aa.1-bb1 --R --R (4) --R +---------+ --R | 2 2 --R \|- q + p --R * --R log --R +-------+ --R 2 2 2 2 2 | 2 2 --R ((- q + 2p )cos(a x) + q - p )\|q - p --R + --R 2 3 --R (2p q - 2p )cos(a x)sin(a x) --R / --R 2 2 2 2 --R q cos(a x) - q + p --R + --R +---------+ --R +-------+ | 2 2 --R | 2 2 tan(a x)\|- q + p --R - 2\|q - p atan(--------------------) --R p --R / --R +---------+ +-------+ --R | 2 2 | 2 2 --R 2a p\|- q + p \|q - p --R Type: Expression Integer --E --S 120 cc2:=aa.2-bb1 --R --R (5) --R +---------+ +---------+ --R | 2 2 | 2 2 --R tan(a x)\|- q + p p sin(a x)\|- q + p --R - atan(--------------------) - atan(-------------------------------) --R p 2 2 2 2 --R (2q - 2p )cos(a x) + 2q - 2p --R + --R 2 2 2 2 --R ((2q - p )cos(a x) + 2q - 2p )sin(a x) --R - atan(-------------------------------------------) --R +---------+ --R 2 | 2 2 --R (p cos(a x) + 2p cos(a x) + p)\|- q + p --R / --R +---------+ --R | 2 2 --R a p\|- q + p --R Type: Expression Integer --E --S 121 cc3:=aa.1-bb2 --R --R (6) --R +-------+ --R | 2 2 --R tan(a x)\|q - p + p --R - log(----------------------) --R +-------+ --R | 2 2 --R tan(a x)\|q - p - p --R + --R log --R +-------+ --R 2 2 2 2 2 | 2 2 --R ((- q + 2p )cos(a x) + q - p )\|q - p --R + --R 2 3 --R (2p q - 2p )cos(a x)sin(a x) --R / --R 2 2 2 2 --R q cos(a x) - q + p --R / --R +-------+ --R | 2 2 --R 2a p\|q - p --R Type: Expression Integer --E --S 122 cc4:=aa.2-bb2 --R --R (7) --R +-------+ --R +---------+ | 2 2 --R | 2 2 tan(a x)\|q - p + p --R - \|- q + p log(----------------------) --R +-------+ --R | 2 2 --R tan(a x)\|q - p - p --R + --R +---------+ --R +-------+ | 2 2 --R | 2 2 p sin(a x)\|- q + p --R - 2\|q - p atan(-------------------------------) --R 2 2 2 2 --R (2q - 2p )cos(a x) + 2q - 2p --R + --R +-------+ 2 2 2 2 --R | 2 2 ((2q - p )cos(a x) + 2q - 2p )sin(a x) --R - 2\|q - p atan(-------------------------------------------) --R +---------+ --R 2 | 2 2 --R (p cos(a x) + 2p cos(a x) + p)\|- q + p --R / --R +---------+ +-------+ --R | 2 2 | 2 2 --R 2a p\|- q + p \|q - p --R Type: Expression Integer --E --S 123 tanrule:=rule(tan(a) == sin(a)/cos(a)) --R --R sin(a) --R (8) tan(a) == ------ --R cos(a) --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 124 dd2:=tanrule cc2 --R --R (9) --R +---------+ +---------+ --R | 2 2 | 2 2 --R sin(a x)\|- q + p p sin(a x)\|- q + p --R - atan(--------------------) - atan(-------------------------------) --R p cos(a x) 2 2 2 2 --R (2q - 2p )cos(a x) + 2q - 2p --R + --R 2 2 2 2 --R ((2q - p )cos(a x) + 2q - 2p )sin(a x) --R - atan(-------------------------------------------) --R +---------+ --R 2 | 2 2 --R (p cos(a x) + 2p cos(a x) + p)\|- q + p --R / --R +---------+ --R | 2 2 --R a p\|- q + p --R Type: Expression Integer --E --S 125 ee2:=ratDenom dd2 --R --R (10) --R - --R +---------+ --R | 2 2 --R \|- q + p --R * --R +---------+ --R 2 2 2 2 | 2 2 --R ((2q - p )cos(a x) + 2q - 2p )sin(a x)\|- q + p --R atan(--------------------------------------------------------) --R 2 3 2 2 3 2 3 --R (p q - p )cos(a x) + (2p q - 2p )cos(a x) + p q - p --R + --R +---------+ --R +---------+ | 2 2 --R | 2 2 sin(a x)\|- q + p --R \|- q + p atan(--------------------) --R p cos(a x) --R + --R +---------+ --R +---------+ | 2 2 --R | 2 2 p sin(a x)\|- q + p --R \|- q + p atan(-------------------------------) --R 2 2 2 2 --R (2q - 2p )cos(a x) + 2q - 2p --R / --R 2 3 --R a p q - a p --R Type: Expression Integer --E --S 126 atanrule:=rule(atan(x) == -%i/2*log((1+%i*x)/(1-%i*x))) --R --R - x + %i --R %i log(--------) --R x + %i --R (11) atan(x) == - ---------------- --R 2 --R Type: RewriteRule(Integer,Complex Integer,Expression Complex Integer) --E --S 127 ff2:=atanrule ee2 --R --R (12) --R - --R +---------+ --R | 2 2 --R %i\|- q + p --R * --R log --R +---------+ --R | 2 2 2 2 2 --R - p sin(a x)\|- q + p + (2%i q - 2%i p )cos(a x) + 2%i q --R + --R 2 --R - 2%i p --R / --R +---------+ --R | 2 2 2 2 2 --R p sin(a x)\|- q + p + (2%i q - 2%i p )cos(a x) + 2%i q --R + --R 2 --R - 2%i p --R + --R +---------+ --R +---------+ | 2 2 --R | 2 2 - sin(a x)\|- q + p + %i p cos(a x) --R - %i\|- q + p log(--------------------------------------) --R +---------+ --R | 2 2 --R sin(a x)\|- q + p + %i p cos(a x) --R + --R +---------+ --R | 2 2 --R %i\|- q + p --R * --R log --R +---------+ --R 2 2 2 2 | 2 2 --R ((- 2q + p )cos(a x) - 2q + 2p )sin(a x)\|- q + p --R + --R 2 3 2 2 3 --R (%i p q - %i p )cos(a x) + (2%i p q - 2%i p )cos(a x) --R + --R 2 3 --R %i p q - %i p --R / --R +---------+ --R 2 2 2 2 | 2 2 --R ((2q - p )cos(a x) + 2q - 2p )sin(a x)\|- q + p --R + --R 2 3 2 2 3 --R (%i p q - %i p )cos(a x) + (2%i p q - 2%i p )cos(a x) --R + --R 2 3 --R %i p q - %i p --R / --R 2 3 --R 2a p q - 2a p --R Type: Expression Complex Integer --E --S 128 gg2:=expandLog ff2 --R --R (13) --R - --R +---------+ --R | 2 2 --R %i\|- q + p --R * --R log --R +---------+ --R 2 2 2 2 | 2 2 --R ((2q - p )cos(a x) + 2q - 2p )sin(a x)\|- q + p --R + --R 2 3 2 2 3 --R (%i p q - %i p )cos(a x) + (2%i p q - 2%i p )cos(a x) --R + --R 2 3 --R %i p q - %i p --R + --R +---------+ --R | 2 2 --R %i\|- q + p --R * --R log --R +---------+ --R 2 2 2 2 | 2 2 --R ((2q - p )cos(a x) + 2q - 2p )sin(a x)\|- q + p --R + --R 2 3 2 2 3 --R (- %i p q + %i p )cos(a x) + (- 2%i p q + 2%i p )cos(a x) --R + --R 2 3 --R - %i p q + %i p --R + --R +---------+ --R | 2 2 --R %i\|- q + p --R * --R +---------+ --R | 2 2 2 2 2 2 --R log(p sin(a x)\|- q + p + (2%i q - 2%i p )cos(a x) + 2%i q - 2%i p ) --R + --R - --R +---------+ --R | 2 2 --R %i\|- q + p --R * --R log --R +---------+ --R | 2 2 2 2 2 --R p sin(a x)\|- q + p + (- 2%i q + 2%i p )cos(a x) - 2%i q --R + --R 2 --R 2%i p --R + --R +---------+ +---------+ --R | 2 2 | 2 2 --R %i\|- q + p log(sin(a x)\|- q + p + %i p cos(a x)) --R + --R +---------+ +---------+ --R | 2 2 | 2 2 --R - %i\|- q + p log(sin(a x)\|- q + p - %i p cos(a x)) --R + --R +---------+ --R | 2 2 --R - %i log(- 1)\|- q + p --R / --R 2 3 --R 2a p q - 2a p --R Type: Expression Complex Integer --E --S 129 rootrule4a:RewriteRule(INT,COMPLEX(INT),EXPR(COMPLEX(INT))):=rule(sqrt(p^2-q^2)==sqrt(p-q)*sqrt(q+p)) --R --R +---------+ --R | 2 2 +-------+ +-----+ --R (14) \|- q + p == \|- q + p \|q + p --R Type: RewriteRule(Integer,Complex Integer,Expression Complex Integer) --E --S 130 hh2:=rootrule4a gg2 --R --R (15) --R - --R +-------+ +-----+ --R %i\|- q + p \|q + p --R * --R log --R 2 2 2 2 +-------+ +-----+ --R ((2q - p )cos(a x) + 2q - 2p )sin(a x)\|- q + p \|q + p --R + --R 2 3 2 2 3 --R (%i p q - %i p )cos(a x) + (2%i p q - 2%i p )cos(a x) --R + --R 2 3 --R %i p q - %i p --R + --R +-------+ +-----+ --R %i\|- q + p \|q + p --R * --R log --R 2 2 2 2 +-------+ +-----+ --R ((2q - p )cos(a x) + 2q - 2p )sin(a x)\|- q + p \|q + p --R + --R 2 3 2 2 3 --R (- %i p q + %i p )cos(a x) + (- 2%i p q + 2%i p )cos(a x) --R + --R 2 3 --R - %i p q + %i p --R + --R +-------+ +-----+ --R %i\|- q + p \|q + p --R * --R log --R +-------+ +-----+ 2 2 2 --R p sin(a x)\|- q + p \|q + p + (2%i q - 2%i p )cos(a x) + 2%i q --R + --R 2 --R - 2%i p --R + --R - --R +-------+ +-----+ --R %i\|- q + p \|q + p --R * --R log --R +-------+ +-----+ 2 2 --R p sin(a x)\|- q + p \|q + p + (- 2%i q + 2%i p )cos(a x) --R + --R 2 2 --R - 2%i q + 2%i p --R + --R +-------+ +-----+ +-------+ +-----+ --R %i\|- q + p \|q + p log(sin(a x)\|- q + p \|q + p + %i p cos(a x)) --R + --R +-------+ +-----+ +-------+ +-----+ --R - %i\|- q + p \|q + p log(sin(a x)\|- q + p \|q + p - %i p cos(a x)) --R + --R +-------+ +-----+ --R - %i log(- 1)\|- q + p \|q + p --R / --R 2 3 --R 2a p q - 2a p --R Type: Expression Complex Integer --E --S 131 14:363 Schaums and Axiom differ by a constant ii2:=complexNormalize hh2 --R --R +-------+ +-----+ --R (%i log(%i) - %i log(- %i) - %i log(- 1))\|- q + p \|q + p --R (16) ----------------------------------------------------------- --R 2 3 --R 2a p q - 2a p --R Type: Expression Complex Integer --E @ \section{\cite{1}:14.364~~~~~$\displaystyle \int{x^m\sin{ax}}~dx$} $$\int{x^m\sin{ax}}= -\frac{x^m\cos{ax}}{a}+\frac{mx^{m-1}\sin{ax}}{a^2} -\frac{m(m-1)}{a^2}\int{x^{m-2}\sin{ax}} $$ <<*>>= )clear all --S 132 14:364 Axiom cannot compute this integral aa:=integrate(x^m*sin(a*x),x) --R --R --R x --R ++ m --I (1) | sin(%I a)%I d%I --R ++ --R Type: Union(Expression Integer,...) --E @ \section{\cite{1}:14.365~~~~~$\displaystyle \int{\frac{\sin{ax}}{x^n}}~dx$} $$\int{\frac{\sin{ax}}{x^n}}= -\frac{\sin{ax}}{(n-1)x^{n-1}}+\frac{a}{n-1}\int{\frac{\cos{ax}}{x^{n-1}}} $$ <<*>>= )clear all --S 133 14:365 Axiom cannot compute this integral aa:=integrate(sin(a*x)/x^n,x) --R --R --R x --I ++ sin(%I a) --I (1) | --------- d%I --R ++ n --I %I --R Type: Union(Expression Integer,...) --E @ \section{\cite{1}:14.366~~~~~$\displaystyle \int{\sin^n{ax}}~dx$} $$\int{\sin^n{ax}}= -\frac{\sin^{n-1}{ax}\cos{ax}}{an}+\frac{n-1}{n}\int{\sin^{n-2}{ax}} $$ <<*>>= )clear all --S 134 14:366 Axiom cannot compute this integral aa:=integrate(sin(a*x)^n,x) --R --R --R x --R ++ n --I (1) | sin(%I a) d%I --R ++ --R Type: Union(Expression Integer,...) --E @ \section{\cite{1}:14.367~~~~~$\displaystyle \int{\frac{1}{\sin^n{ax}}}~dx$} $$\int{\frac{1}{\sin^n{ax}}}= \frac{-\cos{ax}}{a(n-1)\sin^{n-1}{ax}} +\frac{n-2}{n-1}\int{\frac{1}{\sin^{n-2}{ax}}} $$ <<*>>= )clear all --S 135 14:367 Axiom cannot compute this integral aa:=integrate(1/(sin(a*x))^n,x) --R --R --R x --R ++ 1 --I (1) | ---------- d%I --R ++ n --I sin(%I a) --R Type: Union(Expression Integer,...) --E @ \section{\cite{1}:14.368~~~~~$\displaystyle \int{\frac{x~dx}{sin^n{ax}}}$} $$\int{\frac{x}{sin^n{ax}}}= \frac{-x\cos{ax}}{a(n-1)\sin^{n-1}{ax}} -\frac{1}{a^2(n-1)(n-2)\sin^{n-2}{ax}} +\frac{n-2}{n-1}\int{\frac{x}{\sin^{n-2}{ax}}} $$ <<*>>= )clear all --S 136 14:368 Axiom cannot compute this integral aa:=integrate(x/sin(a*x)^n,x) --R --R --R x --I ++ %I --I (1) | ---------- d%I --R ++ n --I sin(%I a) --R Type: Union(Expression Integer,...) --E )spool )lisp (bye) @ \eject \begin{thebibliography}{99} \bibitem{1} Spiegel, Murray R. {\sl Mathematical Handbook of Formulas and Tables}\\ Schaum's Outline Series McGraw-Hill 1968 pp75-76 \end{thebibliography} \end{document}