\documentclass{article} \usepackage{axiom} \begin{document} \title{\$SPAD/input schaum18.input} \author{Timothy Daly} \maketitle \eject \tableofcontents \eject \section{\cite{1}:14.369~~~~~$\displaystyle \int{\cos ax ~dx}$} $$\int{\cos ax}= \frac{\sin{ax}}{a} $$ <<*>>= )spool schaum18.output )set message test on )set message auto off )clear all --S 1 aa:=integrate(cos(a*x),x) --R --R --R sin(a x) --R (1) -------- --R a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 2 bb:=sin(a*x)/a --R --R sin(a x) --R (2) -------- --R a --R Type: Expression Integer --E --S 3 14:369 Schaums and Axiom agree cc:=aa-bb --R --R (3) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.370~~~~~$\displaystyle \int{x\cos{ax}~dx}$} $$\int{x\cos{ax}}= \frac{\cos{ax}}{a^2}+\frac{x\sin{ax}}{a} $$ <<*>>= )clear all --S 4 aa:=integrate(x*cos(a*x),x) --R --R --R a x sin(a x) + cos(a x) --R (1) ----------------------- --R 2 --R a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 5 bb:=cos(a*x)/a^2+(x*sin(a*x))/a --R --R a x sin(a x) + cos(a x) --R (2) ----------------------- --R 2 --R a --R Type: Expression Integer --E --S 6 14:370 Schaums and Axiom agree cc:=aa-bb --R --R (3) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.371~~~~~$\displaystyle \int{x^2\cos{ax}~dx}$} $$\int{x^2\cos{ax}}= \frac{2x}{a^2}\cos{ax}+\left(\frac{x^2}{a}-\frac{2}{a^3}\right)\sin{ax} $$ <<*>>= )clear all --S 7 aa:=integrate(x^2*cos(a*x),x) --R --R --R 2 2 --R (a x - 2)sin(a x) + 2a x cos(a x) --R (1) ---------------------------------- --R 3 --R a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 8 bb:=(2*x)/a^2*cos(a*x)+(x^2/a-2/a^3)*sin(a*x) --R --R 2 2 --R (a x - 2)sin(a x) + 2a x cos(a x) --R (2) ---------------------------------- --R 3 --R a --R Type: Expression Integer --E --S 9 14:371 Schaums and Axiom agree cc:=aa-bb --R --R (3) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.372~~~~~$\displaystyle \int{x^3\cos{ax}~dx}$} $$\int{x^3\cos{ax}}= \left(\frac{3x^2}{a^2}-\frac{6}{a^4}\right)\cos{ax} +\left(\frac{x^3}{a}-\frac{6x}{a^3}\right)\sin{ax} $$ <<*>>= )clear all --S 10 aa:=integrate(x^3*cos(a*x),x) --R --R --R 3 3 2 2 --R (a x - 6a x)sin(a x) + (3a x - 6)cos(a x) --R (1) ------------------------------------------- --R 4 --R a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 11 bb:=((3*x^2)/a^2-6/a^4)*cos(a*x)+(x^3/a-(6*x)/a^3)*sin(a*x) --R --R 3 3 2 2 --R (a x - 6a x)sin(a x) + (3a x - 6)cos(a x) --R (2) ------------------------------------------- --R 4 --R a --R Type: Expression Integer --E --S 12 14:372 Schaums and Axiom agree cc:=aa-bb --R --R (3) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.373~~~~~$\displaystyle \int{\frac{\cos{ax}}{x}}~dx$} $$\int{\frac{\cos{ax}}{x}}= \ln{x}-\frac{(ax)^2}{2\cdot 2!}+\frac{(ax)^4}{4\cdot 4!} -\frac{(ax)^6}{6\cdot 6!}+\cdots $$ <<*>>= )clear all --S 13 14:373 Schaums and Axiom agree by definition aa:=integrate(cos(x)/x,x) --R --R --R (1) Ci(x) --R Type: Union(Expression Integer,...) --E @ \section{\cite{1}:14.374~~~~~$\displaystyle \int{\frac{\cos{ax}}{x^2}}~dx$} $$\int{\frac{\cos{ax}}{x^2}}= -\frac{\cos{ax}}{x}-a\int{\frac{\sin{ax}}{x}} $$ <<*>>= )clear all --S 14 14:374 Axiom cannot compute this integral aa:=integrate(cos(a*x)/x^2,x) --R --R --R x --I ++ cos(%I a) --I (1) | --------- d%I --R ++ 2 --I %I --R Type: Union(Expression Integer,...) --E @ \section{\cite{1}:14.375~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{\cos{ax}}}$} $$\int{\frac{1}{\cos{ax}}}= \frac{1}{a}\ln(\sec{ax}-\tan{ax})= \frac{1}{a}\ln\tan\left(\frac{\pi}{4}+\frac{ax}{2}\right) $$ <<*>>= )clear all --S 15 aa:=integrate(1/cos(a*x),x) --R --R --R sin(a x) + cos(a x) + 1 sin(a x) - cos(a x) - 1 --R log(-----------------------) - log(-----------------------) --R cos(a x) + 1 cos(a x) + 1 --R (1) ----------------------------------------------------------- --R a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 16 bb1:=1/a*log(sec(a*x)+tan(a*x)) --R --R log(tan(a x) + sec(a x)) --R (2) ------------------------ --R a --R Type: Expression Integer --E --S 17 bb2:=1/a*log(tan(%pi/4+(a*x)/2)) --R --R 2a x + %pi --R log(tan(----------)) --R 4 --R (3) -------------------- --R a --R Type: Expression Integer --E --S 18 cc1:=aa-bb1 --R --R (4) --R sin(a x) + cos(a x) + 1 --R - log(tan(a x) + sec(a x)) + log(-----------------------) --R cos(a x) + 1 --R + --R sin(a x) - cos(a x) - 1 --R - log(-----------------------) --R cos(a x) + 1 --R / --R a --R Type: Expression Integer --E --S 19 cc2:=aa-bb2 --R --R (5) --R 2a x + %pi sin(a x) + cos(a x) + 1 --R - log(tan(----------)) + log(-----------------------) --R 4 cos(a x) + 1 --R + --R sin(a x) - cos(a x) - 1 --R - log(-----------------------) --R cos(a x) + 1 --R / --R a --R Type: Expression Integer --E --S 20 14:375 Schaums and Axiom differ by a constant complexNormalize cc1 --R --R log(- 1) --R (6) -------- --R a --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.376~~~~~$\displaystyle \int{\frac{x~dx}{\cos{ax}}}$} $$\int{\frac{x}{\cos{ax}}}= \frac{1}{a^2}\left\{ \frac{(ax)^2}{2}+\frac{(ax)^4}{8}+\frac{5(ax)^6}{144}+\cdots+ \frac{E_n(ax)^{2n+2}}{(2n+2)(2n)!}+\cdots \right\} $$ <<*>>= )clear all --S 21 14:376 Axiom cannot compute this integral aa:=integrate(x/cos(a*x),x) --R --R --R x --I ++ %I --I (1) | --------- d%I --I ++ cos(%I a) --R Type: Union(Expression Integer,...) --E @ \section{\cite{1}:14.377~~~~~$\displaystyle \int{\cos^2{ax}}~dx$} $$\int{\cos^2{ax}}= \frac{x}{2}+\frac{\sin{2ax}}{4a} $$ <<*>>= )clear all --S 22 aa:=integrate(cos(a*x)^2,x) --R --R --R cos(a x)sin(a x) + a x --R (1) ---------------------- --R 2a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 23 bb:=x/2+sin(2*a*x)/(4*a) --R --R sin(2a x) + 2a x --R (2) ---------------- --R 4a --R Type: Expression Integer --E --S 24 cc:=aa-bb --R --R - sin(2a x) + 2cos(a x)sin(a x) --R (3) ------------------------------- --R 4a --R Type: Expression Integer --E --S 25 cossinrule:=rule(cos(b)*sin(a) == 1/2*(sin(a-b)+sin(a+b))) --R --R --I %M sin(b + a) - %M sin(b - a) --I (4) %M cos(b)sin(a) == ----------------------------- --R 2 --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 26 14:377 Schaums and Axiom agree dd:=cossinrule cc --R --R (5) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.378~~~~~$\displaystyle \int{x\cos^2{ax}}~dx$} $$\int{x\cos^2{ax}}= \frac{x^2}{4}+\frac{x\sin{2ax}}{4a}+\frac{\cos{2ax}}{8a^2} $$ <<*>>= )clear all --S 27 aa:=integrate(x*cos(a*x)^2,x) --R --R --R 2 2 2 --R 2a x cos(a x)sin(a x) + cos(a x) + a x --R (1) ---------------------------------------- --R 2 --R 4a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 28 bb:=x^2/4+(x*sin(2*a*x))/(4*a)+cos(2*a*x)/(8*a^2) --R --R 2 2 --R 2a x sin(2a x) + cos(2a x) + 2a x --R (2) ---------------------------------- --R 2 --R 8a --R Type: Expression Integer --E --S 29 cc:=aa-bb --R --R 2 --R - 2a x sin(2a x) + 4a x cos(a x)sin(a x) - cos(2a x) + 2cos(a x) --R (3) ----------------------------------------------------------------- --R 2 --R 8a --R Type: Expression Integer --E --S 30 cossinrule:=rule(cos(b)*sin(a) == 1/2*(sin(a-b)+sin(a+b))) --R --R --I %N sin(b + a) - %N sin(b - a) --I (4) %N cos(b)sin(a) == ----------------------------- --R 2 --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 31 dd:=cossinrule cc --R --R 2 --R - cos(2a x) + 2cos(a x) --R (5) ------------------------ --R 2 --R 8a --R Type: Expression Integer --E --S 32 coscosrule:=rule(cos(a)*cos(b) == 1/2*(cos(a-b)+cos(a+b))) --R --R --I %O cos(b + a) + %O cos(b - a) --I (6) %O cos(a)cos(b) == ----------------------------- --I 2 --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 33 ee:=coscosrule dd --R --R 2 --R - cos(2a x) + 2cos(a x) --R (7) ------------------------ --R 2 --R 8a --R Type: Expression Integer --E --S 34 cossqrrule1:=rule(cos(a)^2 == 1/2+1/2*cos(2*a)) --R --R 2 cos(2a) + 1 --R (8) cos(a) == ----------- --R 2 --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 35 14:378 Schaums and Axiom differ by a constant ff:=cossqrrule1 ee --R --R 1 --R (9) --- --R 2 --R 8a --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.379~~~~~$\displaystyle \int{\cos^3{ax}}~dx$} $$\int{\cos^3{ax}}= \frac{\sin{ax}}{a}-\frac{\sin^3{ax}}{3a} $$ <<*>>= )clear all --S 36 aa:=integrate(cos(a*x)^3,x) --R --R --R 2 --R (cos(a x) + 2)sin(a x) --R (1) ----------------------- --R 3a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 37 bb:=sin(a*x)/a-sin(a*x)^3/(3*a) --R --R 3 --R - sin(a x) + 3sin(a x) --R (2) ----------------------- --R 3a --R Type: Expression Integer --E --S 38 cc:=aa-bb --R --R 3 2 --R sin(a x) + (cos(a x) - 1)sin(a x) --R (3) ----------------------------------- --R 3a --R Type: Expression Integer --E --S 39 cossqrrule:=rule(cos(a)^2 == 1-sin(a)^2) --R --R 2 2 --R (4) cos(a) == - sin(a) + 1 --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 40 14:379 Schaums and Axiom agree dd:=cossqrrule cc --R --R (5) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.380~~~~~$\displaystyle \int{\cos^4{ax}}~dx$} $$\int{\cos^4{ax}}= \frac{3x}{8}+\frac{\sin{2ax}}{4a}+\frac{\sin{4ax}}{32a} $$ <<*>>= )clear all --S 41 aa:=integrate(cos(a*x)^4,x) --R --R --R 3 --R (2cos(a x) + 3cos(a x))sin(a x) + 3a x --R (1) --------------------------------------- --R 8a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 42 bb:=(3*x)/8+sin(2*a*x)/(4*a)+sin(4*a*x)/(32*a) --R --R sin(4a x) + 8sin(2a x) + 12a x --R (2) ------------------------------ --R 32a --R Type: Expression Integer --E --S 43 cc:=aa-bb --R --R 3 --R - sin(4a x) - 8sin(2a x) + (8cos(a x) + 12cos(a x))sin(a x) --R (3) ------------------------------------------------------------ --R 32a --R Type: Expression Integer --E --S 44 14:380 Schaums and Axiom agree complexNormalize cc --R --R (4) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.381~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{\cos^2{ax}}}$} $$\int{\frac{1}{\cos^2{ax}}}= \frac{\tan{ax}}{a} $$ <<*>>= )clear all --S 45 aa:=integrate(1/cos(a*x)^2,x) --R --R --R sin(a x) --R (1) ---------- --R a cos(a x) --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 46 bb:=tan(a*x)/a --R --R tan(a x) --R (2) -------- --R a --R Type: Expression Integer --E --S 47 cc:=aa-bb --R --R - cos(a x)tan(a x) + sin(a x) --R (3) ----------------------------- --R a cos(a x) --R Type: Expression Integer --E --S 48 tanrule:=rule(tan(a) == sin(a)/cos(a)) --R --R sin(a) --R (4) tan(a) == ------ --R cos(a) --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 49 14:381 Schaums and Axiom agree dd:=tanrule cc --R --R (5) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.382~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{\cos^3{ax}}}$} $$\int{\frac{1}{\cos^3{ax}}}= \frac{\sin{ax}}{2a\cos^2{ax}} +\frac{1}{2a}\ln\tan\left(\frac{\pi}{4}+\frac{ax}{2}\right) $$ <<*>>= )clear all --S 50 aa:=integrate(1/cos(a*x)^3,x) --R --R --R (1) --R 2 sin(a x) + cos(a x) + 1 --R cos(a x) log(-----------------------) --R cos(a x) + 1 --R + --R 2 sin(a x) - cos(a x) - 1 --R - cos(a x) log(-----------------------) + sin(a x) --R cos(a x) + 1 --R / --R 2 --R 2a cos(a x) --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 51 bb:=sin(a*x)/(2*a*cos(a*x)^2)+1/(2*a)*log(tan(%pi/4+(a*x)/2)) --R --R 2 2a x + %pi --R cos(a x) log(tan(----------)) + sin(a x) --R 4 --R (2) ---------------------------------------- --R 2 --R 2a cos(a x) --R Type: Expression Integer --E --S 52 cc:=aa-bb --R --R (3) --R 2a x + %pi sin(a x) + cos(a x) + 1 --R - log(tan(----------)) + log(-----------------------) --R 4 cos(a x) + 1 --R + --R sin(a x) - cos(a x) - 1 --R - log(-----------------------) --R cos(a x) + 1 --R / --R 2a --R Type: Expression Integer --E --S 53 14:382 Schaums and Axiom differ by a constant complexNormalize cc --R --R log(- 1) --R (4) -------- --R 2a --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.383~~~~~$\displaystyle \int{\cos{px}\cos{qx}}~dx$} $$\int{\cos{ax}\cos{px}}= \frac{\sin{(a-p)x}}{2(a-p)}+\frac{\sin{(a+p)x}}{2(a+p)} $$ <<*>>= )clear all --S 54 aa:=integrate(cos(a*x)*cos(p*x),x) --R --R p cos(a x)sin(p x) - a cos(p x)sin(a x) --R (1) --------------------------------------- --R 2 2 --R p - a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 55 bb:=(sin((a-p)*x))/(2*(a-p))+(sin((a+p)*x))/(2*(a+p)) --R --R (p - a)sin((p + a)x) + (p + a)sin((p - a)x) --R (2) ------------------------------------------- --R 2 2 --R 2p - 2a --R Type: Expression Integer --E --S 56 cc:=aa-bb --R --R (3) --R (- p + a)sin((p + a)x) + 2p cos(a x)sin(p x) + (- p - a)sin((p - a)x) --R + --R - 2a cos(p x)sin(a x) --R / --R 2 2 --R 2p - 2a --R Type: Expression Integer --E --S 57 14:383 Schaums and Axiom agree complexNormalize cc --R --R (4) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.384~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{1-\cos{ax}}}$} $$\int{\frac{1}{1-\cos{ax}}}= -\frac{1}{a}\cot\frac{ax}{2} $$ <<*>>= )clear all --S 58 aa:=integrate(1/(1-cos(a*x)),x) --R --R --R - cos(a x) - 1 --R (1) -------------- --R a sin(a x) --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 59 bb:=-1/a*cot((a*x)/2) --R --R a x --R cot(---) --R 2 --R (2) - -------- --R a --R Type: Expression Integer --E --S 60 cc:=aa-bb --R --R a x --R cot(---)sin(a x) - cos(a x) - 1 --R 2 --R (3) ------------------------------- --R a sin(a x) --R Type: Expression Integer --E --S 61 14:384 Schaums and Axiom agree dd:=complexNormalize cc --R --R (4) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.385~~~~~$\displaystyle \int{\frac{x~dx}{1-\cos{ax}}}$} $$\int{\frac{x}{1-\cos{ax}}}= -\frac{x}{a}\cot\frac{ax}{2} +\frac{2}{a^2}\ln~\sin\frac{ax}{2} $$ <<*>>= )clear all --S 62 aa:=integrate(x/(1-cos(a*x)),x) --R --R (1) --R sin(a x) 2 --R 2sin(a x)log(------------) - sin(a x)log(------------) - a x cos(a x) - a x --R cos(a x) + 1 cos(a x) + 1 --R --------------------------------------------------------------------------- --R 2 --R a sin(a x) --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 63 bb:=-x/a*cot((a*x)/2)+2/a^2*log(sin((a*x)/2)) --R --R a x a x --R 2log(sin(---)) - a x cot(---) --R 2 2 --R (2) ----------------------------- --R 2 --R a --R Type: Expression Integer --E --S 64 cc:=aa-bb --R --R (3) --R sin(a x) a x --R 2sin(a x)log(------------) - 2sin(a x)log(sin(---)) --R cos(a x) + 1 2 --R + --R 2 a x --R - sin(a x)log(------------) + a x cot(---)sin(a x) - a x cos(a x) - a x --R cos(a x) + 1 2 --R / --R 2 --R a sin(a x) --R Type: Expression Integer --E --S 65 cotrule:=rule(cot(a) == cos(a)/sin(a)) --R --R cos(a) --R (4) cot(a) == ------ --R sin(a) --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 66 dd:=cotrule cc --R --R (5) --R a x sin(a x) a x a x --R 2sin(---)sin(a x)log(------------) - 2sin(---)sin(a x)log(sin(---)) --R 2 cos(a x) + 1 2 2 --R + --R a x 2 a x --R - sin(---)sin(a x)log(------------) + a x cos(---)sin(a x) --R 2 cos(a x) + 1 2 --R + --R a x --R (- a x cos(a x) - a x)sin(---) --R 2 --R / --R 2 a x --R a sin(---)sin(a x) --R 2 --R Type: Expression Integer --E --S 67 ee:=expandLog dd --R --R (6) --R a x a x a x --R 2sin(---)sin(a x)log(sin(a x)) - 2sin(---)sin(a x)log(sin(---)) --R 2 2 2 --R + --R a x --R - sin(---)sin(a x)log(cos(a x) + 1) --R 2 --R + --R a x a x a x --R (- log(2)sin(---) + a x cos(---))sin(a x) + (- a x cos(a x) - a x)sin(---) --R 2 2 2 --R / --R 2 a x --R a sin(---)sin(a x) --R 2 --R Type: Expression Integer --E --S 68 14:385 Schaums and Axiom agree complexNormalize ee --R --R (7) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.386~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{1+\cos{ax}}}$} $$\int{\frac{1}{1+\cos{ax}}}= \frac{1}{a}\tan\frac{ax}{2} $$ <<*>>= )clear all --S 69 aa:=integrate(1/(1+cos(a*x)),x) --R --R sin(a x) --R (1) -------------- --R a cos(a x) + a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 70 bb:=1/a*tan((a*x)/2) --R --R a x --R tan(---) --R 2 --R (2) -------- --R a --R Type: Expression Integer --E --S 71 cc:=aa-bb --R --R a x --R (- cos(a x) - 1)tan(---) + sin(a x) --R 2 --R (3) ----------------------------------- --R a cos(a x) + a --R Type: Expression Integer --E --S 72 14:386 Schaums and Axiom agree complexNormalize cc --R --R (4) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.387~~~~~$\displaystyle \int{\frac{x~dx}{1+\cos{ax}}}$} $$\int{\frac{x}{1+\cos{ax}}}= \frac{x}{a}\tan\frac{ax}{2} +\frac{2}{a^2}\ln~\cos\frac{ax}{2} $$ <<*>>= )clear all --S 73 aa:=integrate(x/(1+cos(a*x)),x) --R --R --R 2 --R (- cos(a x) - 1)log(------------) + a x sin(a x) --R cos(a x) + 1 --R (1) ------------------------------------------------ --R 2 2 --R a cos(a x) + a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 74 bb:=x/a*tan((a*x)/2)+2/a^2*log(cos((a*x)/2)) --R --R a x a x --R 2log(cos(---)) + a x tan(---) --R 2 2 --R (2) ----------------------------- --R 2 --R a --R Type: Expression Integer --E --S 75 cc:=aa-bb --R --R (3) --R a x 2 --R (- 2cos(a x) - 2)log(cos(---)) + (- cos(a x) - 1)log(------------) --R 2 cos(a x) + 1 --R + --R a x --R (- a x cos(a x) - a x)tan(---) + a x sin(a x) --R 2 --R / --R 2 2 --R a cos(a x) + a --R Type: Expression Integer --E --S 76 dd:=expandLog cc --R --R (4) --R a x --R (cos(a x) + 1)log(cos(a x) + 1) + (- 2cos(a x) - 2)log(cos(---)) --R 2 --R + --R a x --R (- a x cos(a x) - a x)tan(---) + a x sin(a x) - log(2)cos(a x) - log(2) --R 2 --R / --R 2 2 --R a cos(a x) + a --R Type: Expression Integer --E --S 77 14:387 Schaums and Axiom agree complexNormalize dd --R --R (5) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.388~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{(1-\cos{ax})^2}}$} $$\int{\frac{1}{(1-\cos{ax})^2}}= -\frac{1}{2a}\cot\frac{ax}{2} -\frac{1}{6a}\cot^3\frac{ax}{2} $$ <<*>>= )clear all --S 78 aa:=integrate(1/(1-cos(a*x))^2,x) --R --R --R 2 --R - cos(a x) + cos(a x) + 2 --R (1) -------------------------- --R (3a cos(a x) - 3a)sin(a x) --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 79 bb:=-1/(2*a)*cot((a*x)/2)-1/(6*a)*cot((a*x)/2)^3 --R --R a x 3 a x --R - cot(---) - 3cot(---) --R 2 2 --R (2) ----------------------- --R 6a --R Type: Expression Integer --E --S 80 cc:=aa-bb --R --R (3) --R a x 3 a x 2 --R ((cos(a x) - 1)cot(---) + (3cos(a x) - 3)cot(---))sin(a x) - 2cos(a x) --R 2 2 --R + --R 2cos(a x) + 4 --R / --R (6a cos(a x) - 6a)sin(a x) --R Type: Expression Integer --E --S 81 14:388 Schaums and Axiom agree complexNormalize cc --R --R (4) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.389~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{(1+\cos{ax})^2}}$} $$\int{\frac{1}{(1+\cos{ax})^2}}= \frac{1}{2a}\tan\frac{ax}{2} +\frac{1}{6a}\tan^3\frac{ax}{2} $$ <<*>>= )clear all --S 82 aa:=integrate(1/(1+cos(a*x))^2,x) --R --R --R (cos(a x) + 2)sin(a x) --R (1) ------------------------------- --R 2 --R 3a cos(a x) + 6a cos(a x) + 3a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 83 bb:=1/(2*a)*tan((a*x)/2)+1/(6*a)*tan((a*x)/2)^3 --R --R a x 3 a x --R tan(---) + 3tan(---) --R 2 2 --R (2) --------------------- --R 6a --R Type: Expression Integer --E --S 84 cc:=aa-bb --R --R (3) --R 2 a x 3 --R (- cos(a x) - 2cos(a x) - 1)tan(---) --R 2 --R + --R 2 a x --R (- 3cos(a x) - 6cos(a x) - 3)tan(---) + (2cos(a x) + 4)sin(a x) --R 2 --R / --R 2 --R 6a cos(a x) + 12a cos(a x) + 6a --R Type: Expression Integer --E --S 85 14:389 Schaums and Axiom agree complexNormalize cc --R --R (4) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.390~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{p+q\cos{ax}}}$} $$\int{\frac{1}{p+q\cos{ax}}}= \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \frac{2}{a\sqrt{p^2-q^q}} \tan^{-1}\sqrt{(p-q)/(p+q)}\tan\frac{1}{2}ax \\ \displaystyle \frac{1}{a\sqrt{q^2-p^2}}\ln\left( \frac{\tan\frac{1}{2}ax+\sqrt{(q+p)/(q-p)}} {\tan\frac{1}{2}ax-\sqrt{(q+p)(q-p)}}\right) \end{array} \right. $$ <<*>>= )clear all --S 86 aa:=integrate(1/(p+q*cos(a*x)),x) --R --R (1) --R +-------+ --R | 2 2 2 2 --R (- p cos(a x) - q)\|q - p + (- q + p )sin(a x) --R log(--------------------------------------------------) --R q cos(a x) + p --R [-------------------------------------------------------, --R +-------+ --R | 2 2 --R a\|q - p --R +---------+ --R | 2 2 --R sin(a x)\|- q + p --R 2atan(-----------------------) --R (q + p)cos(a x) + q + p --R ------------------------------] --R +---------+ --R | 2 2 --R a\|- q + p --R Type: Union(List Expression Integer,...) --E --S 87 bb1:=2/(a*sqrt(p^2-q^2))*atan(sqrt((p-q)/(p+q))*tan(1/2*a*x)) --R --R --R +-------+ --R a x |- q + p --R 2atan(tan(---) |------- ) --R 2 \| q + p --R (2) ------------------------- --R +---------+ --R | 2 2 --R a\|- q + p --R Type: Expression Integer --E --S 88 bb2:=1/(a*sqrt(q^2-p^2))*log((tan(1/2*a*x)+sqrt((q+p)/(q-p)))/(tan(1/2*a*x)-sqrt((q+p)/(q-p)))) --R --R +-----+ --R |q + p a x --R - |----- - tan(---) --R \|q - p 2 --R log(---------------------) --R +-----+ --R |q + p a x --R |----- - tan(---) --R \|q - p 2 --R (3) -------------------------- --R +-------+ --R | 2 2 --R a\|q - p --R Type: Expression Integer --E --S 89 cc1:=aa.1-bb1 --R --R --R (4) --R +-------+ --R +---------+ | 2 2 2 2 --R | 2 2 (- p cos(a x) - q)\|q - p + (- q + p )sin(a x) --R \|- q + p log(--------------------------------------------------) --R q cos(a x) + p --R + --R +-------+ +-------+ --R | 2 2 a x |- q + p --R - 2\|q - p atan(tan(---) |------- ) --R 2 \| q + p --R / --R +---------+ +-------+ --R | 2 2 | 2 2 --R a\|- q + p \|q - p --R Type: Expression Integer --E --S 90 cc2:=aa.2-bb1 --R --R --R +---------+ --R +-------+ | 2 2 --R a x |- q + p sin(a x)\|- q + p --R - 2atan(tan(---) |------- ) + 2atan(-----------------------) --R 2 \| q + p (q + p)cos(a x) + q + p --R (5) ------------------------------------------------------------ --R +---------+ --R | 2 2 --R a\|- q + p --R Type: Expression Integer --E --S 91 cc3:=aa.1-bb2 --R --R (6) --R +-----+ --R |q + p a x --R - |----- - tan(---) --R \|q - p 2 --R - log(---------------------) --R +-----+ --R |q + p a x --R |----- - tan(---) --R \|q - p 2 --R + --R +-------+ --R | 2 2 2 2 --R (- p cos(a x) - q)\|q - p + (- q + p )sin(a x) --R log(--------------------------------------------------) --R q cos(a x) + p --R / --R +-------+ --R | 2 2 --R a\|q - p --R Type: Expression Integer --E --S 92 14:390 Axiom cannot simplify these expressions cc4:=aa.2-bb2 --R --R (7) --R +-----+ --R |q + p a x --R +---------+ - |----- - tan(---) --R | 2 2 \|q - p 2 --R - \|- q + p log(---------------------) --R +-----+ --R |q + p a x --R |----- - tan(---) --R \|q - p 2 --R + --R +---------+ --R +-------+ | 2 2 --R | 2 2 sin(a x)\|- q + p --R 2\|q - p atan(-----------------------) --R (q + p)cos(a x) + q + p --R / --R +---------+ +-------+ --R | 2 2 | 2 2 --R a\|- q + p \|q - p --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.391~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{(p+q\cos{ax})^2}}$} $$\int{\frac{1}{(p+q\cos{ax})^2}}= \frac{q\sin{ax}}{a(q^2-p^2)(p+q\cos{ax})} -\frac{p}{q^2-p^2}\int{\frac{1}{p+q\cos{ax}}} $$ <<*>>= )clear all --S 93 aa:=integrate(1/(p+q*cos(a*x))^2,x) --R --R --R (1) --R [ --R 2 --R (p q cos(a x) + p ) --R * --R +-------+ --R | 2 2 2 2 --R (- p cos(a x) - q)\|q - p + (q - p )sin(a x) --R log(------------------------------------------------) --R q cos(a x) + p --R + --R +-------+ --R | 2 2 --R q sin(a x)\|q - p --R / --R +-------+ --R 3 2 2 3 | 2 2 --R ((a q - a p q)cos(a x) + a p q - a p )\|q - p --R , --R --R +---------+ --R | 2 2 --R 2 sin(a x)\|- q + p --R (- 2p q cos(a x) - 2p )atan(-----------------------) --R (q + p)cos(a x) + q + p --R + --R +---------+ --R | 2 2 --R q sin(a x)\|- q + p --R / --R +---------+ --R 3 2 2 3 | 2 2 --R ((a q - a p q)cos(a x) + a p q - a p )\|- q + p --R ] --R Type: Union(List Expression Integer,...) --E --S 94 t1:=integrate(1/(p+q*cos(a*x)),x) --R --R (2) --R +-------+ --R | 2 2 2 2 --R (- p cos(a x) - q)\|q - p + (- q + p )sin(a x) --R log(--------------------------------------------------) --R q cos(a x) + p --R [-------------------------------------------------------, --R +-------+ --R | 2 2 --R a\|q - p --R +---------+ --R | 2 2 --R sin(a x)\|- q + p --R 2atan(-----------------------) --R (q + p)cos(a x) + q + p --R ------------------------------] --R +---------+ --R | 2 2 --R a\|- q + p --R Type: Union(List Expression Integer,...) --E --S 95 bb1:=(q*sin(a*x))/(a*(q^2-p^2)*(p+q*cos(a*x)))-p/(q^2-p^2)*t1.1 --R --R (3) --R 2 --R (- p q cos(a x) - p ) --R * --R +-------+ --R | 2 2 2 2 --R (- p cos(a x) - q)\|q - p + (- q + p )sin(a x) --R log(--------------------------------------------------) --R q cos(a x) + p --R + --R +-------+ --R | 2 2 --R q sin(a x)\|q - p --R / --R +-------+ --R 3 2 2 3 | 2 2 --R ((a q - a p q)cos(a x) + a p q - a p )\|q - p --R Type: Expression Integer --E --S 96 bb2:=(q*sin(a*x))/(a*(q^2-p^2)*(p+q*cos(a*x)))-p/(q^2-p^2)*t1.2 --R --R (4) --R +---------+ --R | 2 2 +---------+ --R 2 sin(a x)\|- q + p | 2 2 --R (- 2p q cos(a x) - 2p )atan(-----------------------) + q sin(a x)\|- q + p --R (q + p)cos(a x) + q + p --R ----------------------------------------------------------------------------- --R +---------+ --R 3 2 2 3 | 2 2 --R ((a q - a p q)cos(a x) + a p q - a p )\|- q + p --R Type: Expression Integer --E --S 97 cc1:=aa.1-bb1 --R --R (5) --R +-------+ --R | 2 2 2 2 --R (- p cos(a x) - q)\|q - p + (q - p )sin(a x) --R p log(------------------------------------------------) --R q cos(a x) + p --R + --R +-------+ --R | 2 2 2 2 --R (- p cos(a x) - q)\|q - p + (- q + p )sin(a x) --R p log(--------------------------------------------------) --R q cos(a x) + p --R / --R +-------+ --R 2 2 | 2 2 --R (a q - a p )\|q - p --R Type: Expression Integer --E --S 98 cc2:=aa.2-bb1 --R --R (6) --R +-------+ --R +---------+ | 2 2 2 2 --R | 2 2 (- p cos(a x) - q)\|q - p + (- q + p )sin(a x) --R p\|- q + p log(--------------------------------------------------) --R q cos(a x) + p --R + --R +---------+ --R +-------+ | 2 2 --R | 2 2 sin(a x)\|- q + p --R - 2p\|q - p atan(-----------------------) --R (q + p)cos(a x) + q + p --R / --R +---------+ +-------+ --R 2 2 | 2 2 | 2 2 --R (a q - a p )\|- q + p \|q - p --R Type: Expression Integer --E --S 99 cc3:=aa.1-bb2 --R --R (7) --R +-------+ --R +---------+ | 2 2 2 2 --R | 2 2 (- p cos(a x) - q)\|q - p + (q - p )sin(a x) --R p\|- q + p log(------------------------------------------------) --R q cos(a x) + p --R + --R +---------+ --R +-------+ | 2 2 --R | 2 2 sin(a x)\|- q + p --R 2p\|q - p atan(-----------------------) --R (q + p)cos(a x) + q + p --R / --R +---------+ +-------+ --R 2 2 | 2 2 | 2 2 --R (a q - a p )\|- q + p \|q - p --R Type: Expression Integer --E --S 100 14:391 Schaums and Axiom agree cc4:=aa.2-bb2 --R --R (8) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.392~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{p^2+q^2\cos^2{ax}}}$} $$\int{\frac{1}{p^2+q^2\cos^2{ax}}}= \frac{1}{ap\sqrt{p^2+q^2}}\tan^{-1}\frac{p\tan{ax}}{\sqrt{p^2+q^2}} $$ <<*>>= )clear all --S 101 aa:=integrate(1/(p^2+q^2*cos(a*x)^2),x) --R --R --R (1) --R +-------+ --R | 2 2 2 2 2 --R sin(a x)\|q + p ((q - p )cos(a x) - 2p )sin(a x) --R atan(------------------) - atan(-----------------------------------------) --R 2p cos(a x) + 2p +-------+ --R 2 | 2 2 --R (p cos(a x) + 2p cos(a x) + p)\|q + p --R -------------------------------------------------------------------------- --R +-------+ --R | 2 2 --R a p\|q + p --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 102 bb:=1/(a*p*sqrt(p^2+q^2))*atan((p*tan(a*x))/sqrt(p^2+q^2)) --R --R p tan(a x) --R atan(----------) --R +-------+ --R | 2 2 --R \|q + p --R (2) ---------------- --R +-------+ --R | 2 2 --R a p\|q + p --R Type: Expression Integer --E --S 103 cc:=aa-bb --R --R (3) --R +-------+ --R | 2 2 --R sin(a x)\|q + p p tan(a x) --R atan(------------------) - atan(----------) --R 2p cos(a x) + 2p +-------+ --R | 2 2 --R \|q + p --R + --R 2 2 2 --R ((q - p )cos(a x) - 2p )sin(a x) --R - atan(-----------------------------------------) --R +-------+ --R 2 | 2 2 --R (p cos(a x) + 2p cos(a x) + p)\|q + p --R / --R +-------+ --R | 2 2 --R a p\|q + p --R Type: Expression Integer --E --S 104 dd:=ratDenom cc --R --R (4) --R +-------+ --R +-------+ | 2 2 --R | 2 2 p tan(a x)\|q + p --R - \|q + p atan(--------------------) --R 2 2 --R q + p --R + --R - --R +-------+ --R | 2 2 --R \|q + p --R * --R +-------+ --R 2 2 2 | 2 2 --R ((q - p )cos(a x) - 2p )sin(a x)\|q + p --R atan(--------------------------------------------------------) --R 2 3 2 2 3 2 3 --R (p q + p )cos(a x) + (2p q + 2p )cos(a x) + p q + p --R + --R +-------+ --R +-------+ | 2 2 --R | 2 2 sin(a x)\|q + p --R \|q + p atan(------------------) --R 2p cos(a x) + 2p --R / --R 2 3 --R a p q + a p --R Type: Expression Integer --E --S 105 atanrule2:=rule(atan(x) == 1/2*%i*(log(1-%i*x)-log(1+%i*x))) --R --R 1 1 --R (5) atan(x) == - - %i log(%i x + 1) + - %i log(- %i x + 1) --R 2 2 --RType: RewriteRule(Integer,Complex Fraction Integer,Expression Complex Fraction Integer) --E --S 106 ee:=atanrule2 dd --R --R (6) --R +-------+ --R +-------+ | 2 2 2 2 --R 1 | 2 2 %i p tan(a x)\|q + p + q + p --R - %i\|q + p log(---------------------------------) --R 2 2 2 --R q + p --R + --R +-------+ --R 1 | 2 2 --R - %i\|q + p --R 2 --R * --R log --R +-------+ --R 2 2 2 | 2 2 --R ((%i q - %i p )cos(a x) - 2%i p )sin(a x)\|q + p --R + --R 2 3 2 2 3 2 3 --R (p q + p )cos(a x) + (2p q + 2p )cos(a x) + p q + p --R / --R 2 3 2 2 3 2 3 --R (p q + p )cos(a x) + (2p q + 2p )cos(a x) + p q + p --R + --R +-------+ --R 1 | 2 2 --R +-------+ - %i sin(a x)\|q + p + p cos(a x) + p --R 1 | 2 2 2 --R - - %i\|q + p log(----------------------------------------) --R 2 p cos(a x) + p --R + --R +-------+ --R 1 | 2 2 --R +-------+ - - %i sin(a x)\|q + p + p cos(a x) + p --R 1 | 2 2 2 --R - %i\|q + p log(------------------------------------------) --R 2 p cos(a x) + p --R + --R - --R +-------+ --R 1 | 2 2 --R - %i\|q + p --R 2 --R * --R log --R +-------+ --R 2 2 2 | 2 2 --R ((- %i q + %i p )cos(a x) + 2%i p )sin(a x)\|q + p --R + --R 2 3 2 2 3 2 3 --R (p q + p )cos(a x) + (2p q + 2p )cos(a x) + p q + p --R / --R 2 3 2 2 3 2 3 --R (p q + p )cos(a x) + (2p q + 2p )cos(a x) + p q + p --R + --R +-------+ --R +-------+ | 2 2 2 2 --R 1 | 2 2 - %i p tan(a x)\|q + p + q + p --R - - %i\|q + p log(-----------------------------------) --R 2 2 2 --R q + p --R / --R 2 3 --R a p q + a p --R Type: Expression Complex Fraction Integer --E --S 107 ff:=expandLog ee --R --R (7) --R +-------+ +-------+ --R 1 | 2 2 | 2 2 2 2 --R - - %i\|q + p log(p tan(a x)\|q + p + %i q + %i p ) --R 2 --R + --R +-------+ +-------+ --R 1 | 2 2 | 2 2 2 2 --R - %i\|q + p log(p tan(a x)\|q + p - %i q - %i p ) --R 2 --R + --R - --R +-------+ --R 1 | 2 2 --R - %i\|q + p --R 2 --R * --R log --R +-------+ --R 2 2 2 | 2 2 --R ((q - p )cos(a x) - 2p )sin(a x)\|q + p --R + --R 2 3 2 2 3 --R (%i p q + %i p )cos(a x) + (2%i p q + 2%i p )cos(a x) --R + --R 2 3 --R %i p q + %i p --R + --R +-------+ --R 1 | 2 2 --R - %i\|q + p --R 2 --R * --R log --R +-------+ --R 2 2 2 | 2 2 --R ((q - p )cos(a x) - 2p )sin(a x)\|q + p --R + --R 2 3 2 2 3 --R (- %i p q - %i p )cos(a x) + (- 2%i p q - 2%i p )cos(a x) --R + --R 2 3 --R - %i p q - %i p --R + --R +-------+ +-------+ --R 1 | 2 2 | 2 2 --R - %i\|q + p log(sin(a x)\|q + p + 2%i p cos(a x) + 2%i p) --R 2 --R + --R +-------+ +-------+ --R 1 | 2 2 | 2 2 --R - - %i\|q + p log(sin(a x)\|q + p - 2%i p cos(a x) - 2%i p) --R 2 --R + --R +-------+ --R 1 1 1 1 | 2 2 --R (%i log(%i) - - %i log(- %i) + - %i log(- - %i) - %i log(- %i))\|q + p --R 2 2 2 2 --R / --R 2 3 --R a p q + a p --R Type: Expression Complex Fraction Integer --E --S 108 14:392 Schaums and Axiom differ by a constant complexNormalize ff --R --R (8) --R 1 1 1 1 --R %i log(%i) - - %i log(- %i) + - %i log(- - %i) - %i log(- %i) --R 2 2 2 2 --R + --R 1 --R - - %i log(- 1) --R 2 --R * --R +-------+ --R | 2 2 --R \|q + p --R / --R 2 3 --R a p q + a p --R Type: Expression Complex Fraction Integer --E @ \section{\cite{1}:14.393~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{p^2-q^2\cos^2{ax}}}$} $$\int{\frac{1}{p^2-q^2\cos^2{ax}}}= \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \frac{1}{ap\sqrt{p^2-q^2}}\tan^{-1}\frac{p\tan{ax}}{\sqrt{p^2-q^2}}\\ \\ \displaystyle \frac{1}{2ap\sqrt{q^2-p^2}}\ln\left(\frac{p\tan{ax}-\sqrt{q^2-p^2}} {p\tan{ax}+\sqrt{q^2-p^2}}\right) \end{array} \right. $$ <<*>>= )clear all --S 109 aa:=integrate(1/(p^2-q^2*cos(a*x)^2),x) --R --R --R (1) --R +-------+ --R 2 2 2 2 | 2 2 2 3 --R ((q - 2p )cos(a x) + p )\|q - p + (- 2p q + 2p )cos(a x)sin(a x) --R log(----------------------------------------------------------------------) --R 2 2 2 --R q cos(a x) - p --R [---------------------------------------------------------------------------, --R +-------+ --R | 2 2 --R 2a p\|q - p --R --R +---------+ --R | 2 2 --R sin(a x)\|- q + p --R atan(--------------------) --R 2p cos(a x) + 2p --R + --R 2 2 2 --R ((q + p )cos(a x) + 2p )sin(a x) --R atan(-------------------------------------------) --R +---------+ --R 2 | 2 2 --R (p cos(a x) + 2p cos(a x) + p)\|- q + p --R / --R +---------+ --R | 2 2 --R a p\|- q + p --R ] --R Type: Union(List Expression Integer,...) --E --S 110 bb1:=1/(a*p*sqrt(p^2-q^2))*atan((p*tan(a*x))/sqrt(p^2-q^2)) --R --R p tan(a x) --R atan(------------) --R +---------+ --R | 2 2 --R \|- q + p --R (2) ------------------ --R +---------+ --R | 2 2 --R a p\|- q + p --R Type: Expression Integer --E --S 111 bb2:=1/(2*a*p*sqrt(q^2-p^2))*log((p*tan(a*x)-sqrt(q^2-p^2))/(p*tan(a*x)+sqrt(q^2-p^2))) --R --R +-------+ --R | 2 2 --R - \|q - p + p tan(a x) --R log(-------------------------) --R +-------+ --R | 2 2 --R \|q - p + p tan(a x) --R (3) ------------------------------ --R +-------+ --R | 2 2 --R 2a p\|q - p --R Type: Expression Integer --E --S 112 cc1:=aa.1-bb1 --R --R (4) --R +---------+ --R | 2 2 --R \|- q + p --R * --R log --R +-------+ --R 2 2 2 2 | 2 2 --R ((q - 2p )cos(a x) + p )\|q - p --R + --R 2 3 --R (- 2p q + 2p )cos(a x)sin(a x) --R / --R 2 2 2 --R q cos(a x) - p --R + --R +-------+ --R | 2 2 p tan(a x) --R - 2\|q - p atan(------------) --R +---------+ --R | 2 2 --R \|- q + p --R / --R +---------+ +-------+ --R | 2 2 | 2 2 --R 2a p\|- q + p \|q - p --R Type: Expression Integer --E --S 113 cc2:=aa.2-bb1 --R --R (5) --R +---------+ --R | 2 2 --R sin(a x)\|- q + p p tan(a x) --R atan(--------------------) - atan(------------) --R 2p cos(a x) + 2p +---------+ --R | 2 2 --R \|- q + p --R + --R 2 2 2 --R ((q + p )cos(a x) + 2p )sin(a x) --R atan(-------------------------------------------) --R +---------+ --R 2 | 2 2 --R (p cos(a x) + 2p cos(a x) + p)\|- q + p --R / --R +---------+ --R | 2 2 --R a p\|- q + p --R Type: Expression Integer --E --S 114 cc3:=aa.1-bb2 --R --R (6) --R log --R +-------+ --R 2 2 2 2 | 2 2 2 3 --R ((q - 2p )cos(a x) + p )\|q - p + (- 2p q + 2p )cos(a x)sin(a x) --R ---------------------------------------------------------------------- --R 2 2 2 --R q cos(a x) - p --R + --R +-------+ --R | 2 2 --R - \|q - p + p tan(a x) --R - log(-------------------------) --R +-------+ --R | 2 2 --R \|q - p + p tan(a x) --R / --R +-------+ --R | 2 2 --R 2a p\|q - p --R Type: Expression Integer --E --S 115 cc4:=aa.2-bb2 --R --R (7) --R +-------+ --R +---------+ | 2 2 --R | 2 2 - \|q - p + p tan(a x) --R - \|- q + p log(-------------------------) --R +-------+ --R | 2 2 --R \|q - p + p tan(a x) --R + --R +---------+ --R +-------+ | 2 2 --R | 2 2 sin(a x)\|- q + p --R 2\|q - p atan(--------------------) --R 2p cos(a x) + 2p --R + --R +-------+ 2 2 2 --R | 2 2 ((q + p )cos(a x) + 2p )sin(a x) --R 2\|q - p atan(-------------------------------------------) --R +---------+ --R 2 | 2 2 --R (p cos(a x) + 2p cos(a x) + p)\|- q + p --R / --R +---------+ +-------+ --R | 2 2 | 2 2 --R 2a p\|- q + p \|q - p --R Type: Expression Integer --E --S 116 dd2:=ratDenom cc2 --R --R (8) --R +---------+ --R +---------+ | 2 2 --R | 2 2 p tan(a x)\|- q + p --R - \|- q + p atan(----------------------) --R 2 2 --R q - p --R + --R +---------+ --R | 2 2 --R \|- q + p --R * --R +---------+ --R 2 2 2 | 2 2 --R ((q + p )cos(a x) + 2p )sin(a x)\|- q + p --R atan(--------------------------------------------------------) --R 2 3 2 2 3 2 3 --R (p q - p )cos(a x) + (2p q - 2p )cos(a x) + p q - p --R + --R +---------+ --R +---------+ | 2 2 --R | 2 2 sin(a x)\|- q + p --R - \|- q + p atan(--------------------) --R 2p cos(a x) + 2p --R / --R 2 3 --R a p q - a p --R Type: Expression Integer --E --S 117 tanrule:=rule(tan(a) == sin(a)/cos(a)) --R --R sin(a) --R (9) tan(a) == ------ --R cos(a) --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 118 ee2:=tanrule dd2 --R --R (10) --R +---------+ --R | 2 2 --R \|- q + p --R * --R +---------+ --R 2 2 2 | 2 2 --R ((q + p )cos(a x) + 2p )sin(a x)\|- q + p --R atan(--------------------------------------------------------) --R 2 3 2 2 3 2 3 --R (p q - p )cos(a x) + (2p q - 2p )cos(a x) + p q - p --R + --R +---------+ --R +---------+ | 2 2 --R | 2 2 sin(a x)\|- q + p --R - \|- q + p atan(--------------------) --R 2p cos(a x) + 2p --R + --R +---------+ --R +---------+ | 2 2 --R | 2 2 p sin(a x)\|- q + p --R - \|- q + p atan(----------------------) --R 2 2 --R (q - p )cos(a x) --R / --R 2 3 --R a p q - a p --R Type: Expression Integer --E --S 119 atanrule2:=rule(atan(x) == 1/2*%i*(log(1-%i*x)-log(1+%i*x))) --R --R 1 1 --R (11) atan(x) == - - %i log(%i x + 1) + - %i log(- %i x + 1) --R 2 2 --RType: RewriteRule(Integer,Complex Fraction Integer,Expression Complex Fraction Integer) --E --S 120 ff2:=atanrule2 ee2 --R --R (12) --R - --R +---------+ --R 1 | 2 2 --R - %i\|- q + p --R 2 --R * --R log --R +---------+ --R 2 2 2 | 2 2 --R ((%i q + %i p )cos(a x) + 2%i p )sin(a x)\|- q + p --R + --R 2 3 2 2 3 2 3 --R (p q - p )cos(a x) + (2p q - 2p )cos(a x) + p q - p --R / --R 2 3 2 2 3 2 3 --R (p q - p )cos(a x) + (2p q - 2p )cos(a x) + p q - p --R + --R +---------+ --R 1 | 2 2 --R +---------+ - %i sin(a x)\|- q + p + p cos(a x) + p --R 1 | 2 2 2 --R - %i\|- q + p log(------------------------------------------) --R 2 p cos(a x) + p --R + --R +---------+ --R +---------+ | 2 2 2 2 --R 1 | 2 2 %i p sin(a x)\|- q + p + (q - p )cos(a x) --R - %i\|- q + p log(---------------------------------------------) --R 2 2 2 --R (q - p )cos(a x) --R + --R +---------+ --R +---------+ | 2 2 2 2 --R 1 | 2 2 - %i p sin(a x)\|- q + p + (q - p )cos(a x) --R - - %i\|- q + p log(-----------------------------------------------) --R 2 2 2 --R (q - p )cos(a x) --R + --R +---------+ --R 1 | 2 2 --R +---------+ - - %i sin(a x)\|- q + p + p cos(a x) + p --R 1 | 2 2 2 --R - - %i\|- q + p log(--------------------------------------------) --R 2 p cos(a x) + p --R + --R +---------+ --R 1 | 2 2 --R - %i\|- q + p --R 2 --R * --R log --R +---------+ --R 2 2 2 | 2 2 --R ((- %i q - %i p )cos(a x) - 2%i p )sin(a x)\|- q + p --R + --R 2 3 2 2 3 2 3 --R (p q - p )cos(a x) + (2p q - 2p )cos(a x) + p q - p --R / --R 2 3 2 2 3 2 3 --R (p q - p )cos(a x) + (2p q - 2p )cos(a x) + p q - p --R / --R 2 3 --R a p q - a p --R Type: Expression Complex Fraction Integer --E --S 121 gg2:=expandLog ff2 --R --R (13) --R +---------+ --R 1 | 2 2 --R - %i\|- q + p --R 2 --R * --R log --R +---------+ --R 2 2 2 | 2 2 --R ((q + p )cos(a x) + 2p )sin(a x)\|- q + p --R + --R 2 3 2 2 3 2 --R (%i p q - %i p )cos(a x) + (2%i p q - 2%i p )cos(a x) + %i p q --R + --R 3 --R - %i p --R + --R - --R +---------+ --R 1 | 2 2 --R - %i\|- q + p --R 2 --R * --R log --R +---------+ --R 2 2 2 | 2 2 --R ((q + p )cos(a x) + 2p )sin(a x)\|- q + p --R + --R 2 3 2 2 3 --R (- %i p q + %i p )cos(a x) + (- 2%i p q + 2%i p )cos(a x) --R + --R 2 3 --R - %i p q + %i p --R + --R +---------+ +---------+ --R 1 | 2 2 | 2 2 2 2 --R - - %i\|- q + p log(p sin(a x)\|- q + p + (%i q - %i p )cos(a x)) --R 2 --R + --R +---------+ +---------+ --R 1 | 2 2 | 2 2 2 2 --R - %i\|- q + p log(p sin(a x)\|- q + p + (- %i q + %i p )cos(a x)) --R 2 --R + --R +---------+ +---------+ --R 1 | 2 2 | 2 2 --R - - %i\|- q + p log(sin(a x)\|- q + p + 2%i p cos(a x) + 2%i p) --R 2 --R + --R +---------+ +---------+ --R 1 | 2 2 | 2 2 --R - %i\|- q + p log(sin(a x)\|- q + p - 2%i p cos(a x) - 2%i p) --R 2 --R + --R +---------+ --R 1 1 1 1 | 2 2 --R (- %i log(- %i) - - %i log(- - %i))\|- q + p --R 2 2 2 2 --R / --R 2 3 --R a p q - a p --R Type: Expression Complex Fraction Integer --E --S 122 14:393 Schaums and Axiom differ by a constant hh2:=complexNormalize gg2 --R --R (14) --R 1 1 1 1 1 1 --R (- - %i log(%i) + - %i log(- %i) - - %i log(- - %i) + - %i log(- %i)) --R 2 2 2 2 2 2 --R * --R +---------+ --R | 2 2 --R \|- q + p --R / --R 2 3 --R a p q - a p --R Type: Expression Complex Fraction Integer --E @ \section{\cite{1}:14.394~~~~~$\displaystyle \int{x^m\cos{ax}}~dx$} $$\int{x^m\cos{ax}}= \frac{x^m\sin{ax}}{a}+\frac{mx^{m-1}}{a^2}\cos{ax} -\frac{m(m-1)}{a^2}\int{x^{m-2}\cos{ax}} $$ <<*>>= )clear all --S 123 14:394 Axiom cannot compute this integral aa:=integrate(x^m*cos(a*x),x) --R --R --R x --R ++ m --I (1) | cos(%I a)%I d%I --R ++ --R Type: Union(Expression Integer,...) --E @ \section{\cite{1}:14.395~~~~~$\displaystyle \int{\frac{\cos{ax}}{x^n}}~dx$} $$\int{\frac{\cos{ax}}{x^n}}= -\frac{\cos{ax}}{(n-1)x^{n-1}}-\frac{a}{n-1}\int{\frac{\sin{ax}}{x^{n-1}}} $$ <<*>>= )clear all --S 124 14:395 Axiom cannot compute this integral aa:=integrate(cos(a*x)/x^n,x) --R --R --R x --I ++ cos(%I a) --I (1) | --------- d%I --R ++ n --I %I --R Type: Union(Expression Integer,...) --E @ \section{\cite{1}:14.396~~~~~$\displaystyle \int{\cos^n{ax}}~dx$} $$\int{\cos^n{ax}}= \frac{\sin{ax}\cos^{n-1}{ax}}{an}+\frac{n-1}{n}\int{\cos^{n-2}{ax}} $$ <<*>>= )clear all --S 125 14:396 Axiom cannot compute this integral aa:=integrate(cos(a*x)^n,x) --R --R --R x --R ++ n --I (1) | cos(%I a) d%I --R ++ --R Type: Union(Expression Integer,...) --E @ \section{\cite{1}:14.397~~~~~$\displaystyle \int{\frac{1}{\cos^n{ax}}}~dx$} $$\int{\frac{1}{\cos^n{ax}}}= \frac{\sin{ax}}{a(n-1)\cos^{n-1}{ax}} +\frac{n-2}{n-1}\int{\frac{1}{\cos^{n-2}{ax}}} $$ <<*>>= )clear all --S 126 14:397 Axiom cannot compute this integral aa:=integrate(1/(cos(a*x))^n,x) --R --R --R x --R ++ 1 --I (1) | ---------- d%I --R ++ n --I cos(%I a) --R Type: Union(Expression Integer,...) --E @ \section{\cite{1}:14.398~~~~~$\displaystyle \int{\frac{x~dx}{cos^n{ax}}}$} $$\int{\frac{x}{cos^n{ax}}}= \frac{x\sin{ax}}{a(n-1)\cos^{n-1}{ax}} -\frac{1}{a^2(n-1)(n-2)\cos^{n-2}{ax}} +\frac{n-2}{n-1}\int{\frac{x}{\cos^{n-2}{ax}}} $$ <<*>>= )clear all --S 127 14:398 Axiom cannot compute this integral aa:=integrate(x/cos(a*x)^n,x) --R --R --R x --I ++ %I --I (1) | ---------- d%I --R ++ n --I cos(%I a) --R Type: Union(Expression Integer,...) --E )spool )lisp (bye) @ \eject \begin{thebibliography}{99} \bibitem{1} Spiegel, Murray R. {\sl Mathematical Handbook of Formulas and Tables}\\ Schaum's Outline Series McGraw-Hill 1968 pp77-78 \end{thebibliography} \end{document}