\documentclass{article}
\usepackage{axiom}
\begin{document}
\title{\$SPAD/input schaum3.input}
\author{Timothy Daly}
\maketitle
\eject
\tableofcontents
\eject
\section{\cite{1}:14.105~~~~~$\displaystyle\int{\frac{dx}{(ax+b)(px+q)}}$}
$$\int{\frac{1}{(ax+b)(px+q)}}=
\frac{1}{bp-aq}~\ln\left(\frac{px+q}{ax+b}\right)$$
<<*>>=
)spool schaum3.output
)set message test on
)set message auto off
)clear all

--S 1
aa:=integrate(1/((a*x+b)*(p*x+q)),x)
--R 
--R
--R        - log(p x + q) + log(a x + b)
--R   (1)  -----------------------------
--R                  a q - b p
--R                                          Type: Union(Expression Integer,...)
--E 

--S 2
bb:=1/(b*p-a*q)*log((p*x+q)/(a*x+b))
--R 
--R
--R              p x + q
--R          log(-------)
--R              a x + b
--R   (2)  - ------------
--R            a q - b p
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 3
cc:=aa-bb
--R 
--R
--R                                            p x + q
--R        - log(p x + q) + log(a x + b) + log(-------)
--R                                            a x + b
--R   (3)  --------------------------------------------
--R                          a q - b p
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 4
logdiv:=rule(log(a)-log(b) == log(a/b))
--R
--R                                      a
--I   (4)  - log(b) + log(a) + %I == log(-) + %I
--R                                      b
--R                        Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer)
--E

--S 5
dd:=logdiv cc
--R
--R                              1
--R        log(a x + b) + log(-------)
--R                           a x + b
--R   (5)  ---------------------------
--R                 a q - b p
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 6
logmul:=rule(log(a)+log(b) == log(a*b))
--R
--I   (6)  log(b) + log(a) + %J == log(a b) + %J
--R                        Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer)
--E

--S 7      14:105 Schaums and Axiom agree
ee:=logmul dd
--R
--R   (7)  0
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

@

\section{\cite{1}:14.106~~~~~$\displaystyle\int{\frac{x~dx}{(ax+b)(px+q)}}$}
$$\int{\frac{x}{(ax+b)(px+q)}}=
\frac{1}{bp-aq}\left\{\frac{b}{a}~\ln(ax+b)-\frac{q}{p}~\ln(px+q)\right\}$$
<<*>>=
)clear all

--S 8
aa:=integrate(x/((a*x+b)*(p*x+q)),x)
--R 
--R
--R        a q log(p x + q) - b p log(a x + b)
--R   (1)  -----------------------------------
--R                    2           2
--R                   a p q - a b p
--R                                          Type: Union(Expression Integer,...)
--E 

--S 9
bb:=1/(b*p-a*q)*(b/a*log(a*x+b)-q/p*log(p*x+q))
--R 
--R
--R        a q log(p x + q) - b p log(a x + b)
--R   (2)  -----------------------------------
--R                    2           2
--R                   a p q - a b p
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 10     14:106 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R 
--R
--R   (3)  0
--R                                                     Type: Expression Integer
--E
@

\section{\cite{1}:14.107~~~~~$\displaystyle\int{\frac{dx}{(ax+b)^2(px+q)}}$}
$$\int{\frac{1}{(ax+b)^2(px+q)}}=
\frac{1}{bp-aq}
\left\{\frac{1}{ax+b}+
\frac{p}{bp-aq}~\ln\left(\frac{px+q}{ax+b}\right)\right\}$$
<<*>>=
)clear all

--S 11
aa:=integrate(1/((a*x+b)^2*(p*x+q)),x)
--R 
--R
--R        (a p x + b p)log(p x + q) + (- a p x - b p)log(a x + b) - a q + b p
--R   (1)  -------------------------------------------------------------------
--R                 3 2     2           2 2      2   2       2       3 2
--R               (a q  - 2a b p q + a b p )x + a b q  - 2a b p q + b p
--R                                          Type: Union(Expression Integer,...)
--E 

--S 12
bb:=1/(b*p-a*q)*(1/(a*x+b)+p/(b*p-a*q)*log((p*x+q)/(a*x+b)))
--R 
--R
--R                                  p x + q
--R                 (a p x + b p)log(-------) - a q + b p
--R                                  a x + b
--R   (2)  ------------------------------------------------------
--R          3 2     2           2 2      2   2       2       3 2
--R        (a q  - 2a b p q + a b p )x + a b q  - 2a b p q + b p
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 13
cc:=aa-bb
--R 
--R
--R                                                p x + q
--R        p log(p x + q) - p log(a x + b) - p log(-------)
--R                                                a x + b
--R   (3)  ------------------------------------------------
--R                      2 2               2 2
--R                     a q  - 2a b p q + b p
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 14
divlog:=rule(log(a/b) == log(a) - log(b))
--R
--R            a
--R   (4)  log(-) == - log(b) + log(a)
--R            b
--R                        Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer)
--E

--S 15     14:107 Schaums and Axiom agree
dd:=divlog cc
--R
--R   (5)  0
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

@

\section{\cite{1}:14.108~~~~~$\displaystyle\int{\frac{x~dx}{(ax+b)^2(px+q)}}$}
$$\int{\frac{x}{(ax+b)^2(px+q)}}=
\frac{1}{bp-aq}
\left\{\frac{q}{bp-aq}
~\ln\left(\frac{ax+b}{px+q}\right)-\frac{b}{a(ax+b)}\right\}$$

<<*>>=
)clear all

--S 16
aa:=integrate(x/((a*x+b)^2*(p*x+q)),x)
--R 
--R
--R   (1)
--R       2                             2                                    2
--R   (- a q x - a b q)log(p x + q) + (a q x + a b q)log(a x + b) + a b q - b p
--R   -------------------------------------------------------------------------
--R              4 2     3         2 2 2      3   2     2 2         3 2
--R            (a q  - 2a b p q + a b p )x + a b q  - 2a b p q + a b p
--R                                          Type: Union(Expression Integer,...)
--E 

--S 17
bb:=1/(b*p-a*q)*(q/(b*p-a*q)*log((a*x+b)/(p*x+q))-b/(a*(a*x+b)))
--R 
--R
--R                  2                a x + b             2
--R                (a q x + a b q)log(-------) + a b q - b p
--R                                   p x + q
--R   (2)  --------------------------------------------------------
--R          4 2     3         2 2 2      3   2     2 2         3 2
--R        (a q  - 2a b p q + a b p )x + a b q  - 2a b p q + a b p
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 18
cc:=aa-bb
--R 
--R
--R                                                  a x + b
--R        - q log(p x + q) + q log(a x + b) - q log(-------)
--R                                                  p x + q
--R   (3)  --------------------------------------------------
--R                       2 2               2 2
--R                      a q  - 2a b p q + b p
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 19
divlog:=rule(log(a/b) == log(a) - log(b))
--R
--R            a
--R   (4)  log(-) == - log(b) + log(a)
--R            b
--R                        Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer)
--E

--S 20     14:108 Schaums and Axiom agree
dd:=divlog cc
--R
--R   (5)  0
--R                                                     Type: Expression Integer
--E
@

\section{\cite{1}:14.109~~~~~$\displaystyle
\int{\frac{x^2~dx}{(ax+b)^2(px+q)}}$}
$$\int{\frac{x^2}{(ax+b)^2(px+q)}}=$$
$$\frac{b^2}{(bp-aq)a^2(ax+b)}+\frac{1}{(bp-aq)^2}
\left\{\frac{q^2}{p}~\ln(px+q)+\frac{b(bp-2aq)}{a^2}~\ln(ax+b)\right\}$$
<<*>>=
)clear all

--S 21
aa:=integrate(x^2/((a*x+b)^2*(p*x+q)),x)
--R 
--R
--R   (1)
--R         3 2     2   2
--R       (a q x + a b q )log(p x + q)
--R     + 
--R             2           2 2         2       3 2                   2       3 2
--R       ((- 2a b p q + a b p )x - 2a b p q + b p )log(a x + b) - a b p q + b p
--R  /
--R       5   2     4   2     3 2 3      4     2     3 2 2     2 3 3
--R     (a p q  - 2a b p q + a b p )x + a b p q  - 2a b p q + a b p
--R                                          Type: Union(Expression Integer,...)
--E 

--S 22
bb:=b^2/((b*p-a*q)*a^2*(a*x+b))+_
     1/(b*p-a*q)^2*(q^2/p*log(p*x+q)+((b*(b*p-2*a*q))/a^2)*log(a*x+b))
--R 
--R
--R   (2)
--R         3 2     2   2
--R       (a q x + a b q )log(p x + q)
--R     + 
--R             2           2 2         2       3 2                   2       3 2
--R       ((- 2a b p q + a b p )x - 2a b p q + b p )log(a x + b) - a b p q + b p
--R  /
--R       5   2     4   2     3 2 3      4     2     3 2 2     2 3 3
--R     (a p q  - 2a b p q + a b p )x + a b p q  - 2a b p q + a b p
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 23     14:109 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R 
--R
--R   (3)  0
--R                                                     Type: Expression Integer
--E
@

\section{\cite{1}:14.110~~~~~$\displaystyle\int{\frac{dx}{(ax+b)^m(px+q)^n}}$}
$$\int{\frac{1}{(ax+b)^m(px+q)^n}}=$$
$$\frac{-1}{(n-1)(bp-aq)}
\left\{\frac{1}{(ax+b)^{m-1}(px+q)^{n-1}}+
a(m+n-2)~\int{\frac{1}{(ax+b)^m(px+q)^{n-1}}}\right\}$$
<<*>>=
)clear all

--S 24     14:110 Axiom cannot do this integral
aa:=integrate(1/((a*x+b)^m*(p*x+q)^n),x)
--R 
--R
--R           x
--R         ++             1
--I   (1)   |   ---------------------- d%L
--R        ++             m          n
--I             (b + %L a) (q + %L p)
--R                                          Type: Union(Expression Integer,...)
--E 

@
\section{\cite{1}:14.111~~~~~$\displaystyle\int{\frac{ax+b}{px+q}~dx}$}
$$\int{\frac{ax+b}{px+q}}=\frac{ax}{p}+\frac{bp-aq}{p^2}~\ln(px+q)$$
<<*>>=
)clear all

--S 25
aa:=integrate((a*x+b)/(p*x+q),x)
--R 
--R
--R        (- a q + b p)log(p x + q) + a p x
--R   (1)  ---------------------------------
--R                         2
--R                        p
--R                                          Type: Union(Expression Integer,...)
--E 

--S 26
bb:=(a*x)/p+(b*p-a*q)/p^2*log(p*x+q)
--R 
--R
--R        (- a q + b p)log(p x + q) + a p x
--R   (2)  ---------------------------------
--R                         2
--R                        p
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 27     14:111 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R 
--R
--R   (3)  0
--R                                                     Type: Expression Integer
--E
@

\section{\cite{1}:14.112~~~~~$\displaystyle\int{\frac{(ax+b)^m}{(px+q)^n}~dx}$}
$$\int{\frac{(ax+b)^m}{(px+q)^n}}=\left\{
\begin{array}{c}
\frac{-1}{(n-1)(bp-aq)}
\left\{\frac{(ax+b)^{m+1}}{(px+q)^{n-1}}+(n-m-2)a
\int{\frac{(ax+b)^m}{(px+q)^{n-1}}}\right\}\\
\frac{-1}{(n-m-1)p}+\left\{\frac{(ax+b)^m}{(px+q)^{n-1}}+m(bp-aq)
\int{\frac{(ax+b)^{m-1}}{(px+q)^n}}\right\}\\
\frac{-1}{(n-1)p}\left\{\frac{(ax+b)^m}{(px+q)^{n-1}}-ma
\int{\frac{(ax+b)^{m-1}}{(px+q)^{n-1}}}\right\}
\end{array}
\right.$$
<<*>>=
)clear all

--S 28     14:112 Axiom cannot do this integral
aa:=integrate((a*x+b)^m/(p*x+q)^n,x)
--R 
--R
--R           x           m
--I         ++  (b + %L a)
--I   (1)   |   ----------- d%L
--R        ++             n
--I             (q + %L p)
--R                                          Type: Union(Expression Integer,...)
--E
<<*>>=
)spool
)lisp (bye)
@

\eject
\begin{thebibliography}{99}
\bibitem{1} Spiegel, Murray R.
{\sl Mathematical Handbook of Formulas and Tables}\\
Schaum's Outline Series McGraw-Hill 1968 pp62-63
\end{thebibliography}
\end{document}